Paradoxe Zahlen
Geschichte
In der klassischen Schulmathematik geht man davon aus, dass gewisse Operationen nur bedingt sinnvolle Ergebnisse liefern, wie zum Beispiel [math]\sqrt{-1}[/math]. Andere Operationen werden kategorisch ausgeschlossen.
Während aber die Wurzel aus -1 durch einen Trick möglich gemacht wird (imaginäre Zahlen), wurde eine andere, viel häufiger anzutreffende Operation einfach ignoriert: die Division durch Null. Bisher galt: nur Chuck Norris kann das.
Ähnliche Probleme
Ein verwandtes Problem der Division durch Null ist die Division durch Eins. Im Volksmund auch Teilen durch Eins genannt.
So mancher Grundschüler hat sich schon gefragt, wie man denn nun einen Apfel durch Eins teilt, und kam zu dem Schluss: gar nicht, denn durch eins zu teilen muss man ja gar nicht (und aß den Apfel selbst)!
Daraus entsteht schnell folgender Trugschluss: wenn ein Teilen durch 1 die Anzahl der Apfelteile nicht verändert, ein Teilen durch 2 oder mehr aber erhöht... dann müsste ja ein Teilen durch 0 die Anzahl... verringern?
Die Schulmathematik
Behauptet doch tatsächlich, dass [math]\frac{1}{0}[/math] nicht 0 sei! Und zwar mit der etwas fadenscheinigen Begründung der Umkehrbarkeit:
[math]0 \cdot 0[/math] ergebe nunmal nicht 1 (auch nicht 2, 3, 4 oder -5,00001)!
Allgemein: [math]\frac{1}{0} = x \Rightarrow x \cdot 0 = 1 \Rightarrow x = ?[/math]
Selbst wenn x nun unendlich ist, mit Null multipliziert erhält man immer noch Null (Analog der PISA-Studie: wo nichts ist kann auch nichts werden).
Paradoxe Zahlen
Das Problem einfach umgehen. Es wird eine Konstante der Nullteilung, kurz Nullteiler (NuTe), analog zur imaginären Zahl (ImZa) definiert. Da NuTe aber ein saublödes Wort ist, nennt man die Konstante der Nullteilung aber viel lieber paradoxe Zahl und kürzt diese mit p ab. Die Menge aller Vielfachen von p nennt man Paradoxe Zahlen (Mengenzeichen P). Damit schließt man auch die alphabetische Lücke zwischen den Zahlenmengen O, Q, R und S (die Menge der runden Zahlen, die Menge der Quadratischen Zahlen, der relativen Zahlen und der schönen Zahlen).
Definition und Rechenregeln
[math]p = \frac{1}{0}[/math]
Dadurch wird zwangsläufig auch 0 eine paradoxe Zahl:
[math]p^{-1} = 0[/math], da [math] 0 = \frac{0}{1} = p^{-1}[/math]
Weiters gilt, dass [math]p^{0} = 1[/math], und daraus folgt auch, dass [math]p \cdot p^{-1} = 1[/math] (alternativ auch: [math]0 \cdot p = 1[/math])
Rechenbeispiel
Nimmt man nun eine beliebige Division durch Null
[math]\frac{x}{0} = \frac{x}{p^{-1}} = x p[/math]
Ergebnis ist hier eine paradoxe Zahl.
Führt man die Gegenoperation aus, erhält man wieder ein reelles Ergebnis:
[math]x p \cdot p^{-1} = x \cdot 1 = x[/math]
Anwendung
finden die paradoxen Zahlen hauptsächlich in der Übermenge der ultimativen Zahlen.