Aufgabensammlung Mathematik: Endliche Summen

Beweise, dass für alle ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}$

Beweise, dass für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 1}}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}}$

Beweise, dass für ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{3}}}$

Beweise, dass für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 1}}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({\sum _{k=1}^{n}k}\right)^{2}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}}$