Aufgabensammlung Mathematik: Fixpunktsätze

Sei ${\displaystyle X}$ ein kompakter und metrischer Raum, wobei ${\displaystyle d}$ die auf ${\displaystyle X}$ definierte Metrik ist. Sei ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft

${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in X}$ mit ${\displaystyle x\neq y}$

Beweise, dass ${\displaystyle T}$ genau einen Fixpunkt besitzt.