Aufgabensammlung Mathematik: Kompakte metrische Räume sind beschränkt

Wenn ${\displaystyle X}$ leer ist, ist ${\displaystyle X}$ beschränkt. Sei also ${\displaystyle X}$ nicht leer und ${\displaystyle x_{0}\in X}$ beliebig. Nun ist ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}(x_{0})}$ eine offene Überdeckung von ${\displaystyle X}$, wobei ${\displaystyle B_{n}(x_{0}):=\{y\in X\,|\,d(y,x_{0})<n\}}$ ist. Da ${\displaystyle X}$ kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von ${\displaystyle X}$ und damit ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle X\subseteq B_{N}(x_{0})}$. Es gilt also ${\displaystyle d(y,x_{0})<N}$ für alle ${\displaystyle y\in X}$. Sei nun ${\displaystyle x,y\in X}$ beliebig. Es ist dann:

${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{0})+d(x_{0},y)\leq N+N\leq 2N}$

Damit ist ${\displaystyle X}$ beschränkt.