Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: · Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

Ein Supremumsprinzip im Zusammenhang mit drei Sätzen von Krein–Milman, Klee–Straszewicz und Bauer ·

Es sei ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ und ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum mit (positiv definitem) Skalarprodukt. Dann gilt für alle ${\displaystyle x,y\in V}$ die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

${\displaystyle \left\vert \langle x,y\rangle \right\vert \leq {\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}}$.

Gleichheit liegt genau dann vor, wenn ${\displaystyle x,y}$ linear abhängig sind.

Die Aussage ist für ${\displaystyle x=0}$ trivial. Es sei also im Folgenden ${\displaystyle x\neq 0}$. Dann ist also ${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$. Beachte zunächst für ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle &=&\langle \lambda x,\lambda x\rangle +\langle \lambda x,y\rangle +\langle y,\lambda x\rangle +\langle y,y\rangle \\&=&|\lambda |^{2}\langle x,x\rangle +\langle \lambda x,y\rangle +{\overline {\langle \lambda x,y\rangle }}+\langle y,y\rangle \\&=&|\lambda |^{2}\langle x,x\rangle +2{\textrm {Re}}\left(\lambda \langle x,y\rangle \right)+\langle y,y\rangle \\\end{array}}}$

sowie

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\left|\lambda +{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}&=&\left(\lambda +{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\right)\cdot \left({\overline {\lambda }}+{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right)\\&=&\lambda {\overline {\lambda }}+\lambda {\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}+{\overline {\lambda }}{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}+{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\\&=&|\lambda |^{2}+2{\frac {{\textrm {Re}}\left(\lambda \langle x,y\rangle \right)}{\langle x,x\rangle }}+\left|{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}\ .\\\end{array}}}$

Dies impliziert für jedes ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ die Identität

${\displaystyle {\frac {\langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle }{\langle x,x\rangle }}=\left|\lambda +{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}+{\frac {\langle y,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}-\left|{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}}$,

welches eine reelle Zahl ist.

Daraus folgt

${\displaystyle \min \limits _{\lambda \in \mathbb {K} }\left\{{\frac {\langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right\}=D:={\frac {\langle y,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}-\left|{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}}$.

Nun gilt ${\displaystyle \langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$, und Gleichheit für ein ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ wird genau dann angenommen, wenn ${\displaystyle x,y}$ linear abhängig sind. Dies impliziert ${\displaystyle D>0}$ im Fall linearer Unabhängigkeit und ${\displaystyle D=0}$ im Fall linearer Abhängigkeit. Man beachte schließlich

${\displaystyle D>0\Leftrightarrow \left\vert \langle x,y\rangle \right\vert <{\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}}$

und entsprechend

${\displaystyle D=0\Leftrightarrow \left\vert \langle x,y\rangle \right\vert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}}$.

${\displaystyle \Box }$

• Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung