Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit

Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle B}$ sei eine beliebige weitere Menge.

${\displaystyle f:A\to B}$ sei eine Abbildung.

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$

Ist ${\displaystyle y\in f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)}$, so existiert ein ${\displaystyle x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}}$ mit ${\displaystyle f(x)=y}$. Es gilt ${\displaystyle x\in A_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$. Insbesondere ist ${\displaystyle y=f(x)\in f(A_{i})}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$. Somit ist ${\displaystyle y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$.

${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle A=\{1,2\}}$, ${\displaystyle B=\{1\}}$, ${\displaystyle f(1)=1,f(2)=1}$.

${\displaystyle I=\{1,2\}}$, ${\displaystyle A_{1}=\{1\}}$, ${\displaystyle A_{2}=\{2\}}$.

Es gilt ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}=\emptyset }$ und folglich ${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})=\emptyset }$.

Andererseits ist ${\displaystyle f(A_{1})=\{1\}}$ und ${\displaystyle f(A_{2})=\{1\}}$ und folglich ${\displaystyle f(A_{1})\cap f(A_{2})=\{1\}}$.

${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle I\neq \emptyset }$.

${\displaystyle B}$ sei eine beliebige weitere Menge.

${\displaystyle f:A\to B}$ sei eine injektive Abbildung.

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$

Die Inklusion "${\displaystyle \subseteq }$" gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion "${\displaystyle \supseteq }$" zu zeigen.

Sei also ${\displaystyle y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$. Dann ist ${\displaystyle y\in f(A_{i})}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$.

Es gibt für alle ${\displaystyle i\in I}$ ein ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ mit ${\displaystyle f(x_{i})=y}$.

Weil ${\displaystyle f}$ injektiv ist, folgt ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ für je zwei ${\displaystyle i,j\in I}$.

Da ${\displaystyle I\neq \emptyset }$, gibt es folglich ein ${\displaystyle x\in A}$ mit ${\displaystyle x\in A_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ und ${\displaystyle f(x)=y}$.

Es folgt ${\displaystyle x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}}$. Also ist ${\displaystyle y\in f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)}$, wie behauptet.

${\displaystyle \Box }$

Ist ${\displaystyle I=\emptyset }$, so ist nach Konvention ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=A}$ und ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}f(A_{i})=B}$. Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf ${\displaystyle f(A)=B}$. Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von ${\displaystyle f}$. Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.

${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle B}$ sei eine beliebige weitere Menge.

${\displaystyle f:A\to B}$ sei eine Abbildung.

${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})}$

${\displaystyle y\in f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ Es gibt ein ${\displaystyle x\in \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ mit ${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ Es gibt ein ${\displaystyle i\in I}$ und ein ${\displaystyle x\in A_{i}}$ mit ${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ Es gibt ein ${\displaystyle i\in I}$ mit ${\displaystyle y\in f(A_{i})}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle y\in \bigcup _{i\in I}f(A_{i})}$

${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle (B_{i})_{i\in I}}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge ${\displaystyle B}$.

${\displaystyle A}$ sei eine weitere beliebige Menge.

${\displaystyle f:A\to B}$ sei eine Abbildung.

${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}$

${\displaystyle x\in f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f(x)\in \bigcap _{i\in I}B_{i}}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f(x)\in B_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(B_{i})}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle x\in \bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}$

${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle (B_{i})_{i\in I}}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge ${\displaystyle B}$.

${\displaystyle A}$ sei eine weitere beliebige Menge.

${\displaystyle f:A\to B}$ sei eine Abbildung.

${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}$

${\displaystyle x\in f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f(x)\in \bigcup _{i\in I}B_{i}}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f(x)\in B_{i}}$ für mindestens ein ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(B_{i})}$ für mindestens ein ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle x\in \bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}$

${\displaystyle \Box }$

Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ beliebige Mengen und ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq B}$ beliebige Teilmengen.

${\displaystyle f:A\to B}$ sei eine Abbildung.

${\displaystyle f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})=f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})}$

${\displaystyle x\in f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(B_{1})}$ und ${\displaystyle x\notin f^{-1}(B_{2})}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f(x)\in B_{1}}$ und ${\displaystyle f(x)\notin B_{2}}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f(x)\in B_{1}\setminus B_{2}}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})}$

${\displaystyle \Box }$