Collatzfolgen und Schachbrett: Dritter Schritt

Wie wirken sich nun der M-Schritt und der D-Schritt auf eine solche als Summe von Janus-Zahlen dargestellte ungerade Collatz-Zahl ${\displaystyle c_{0}}$ aus?

${\displaystyle c_{0}=\sum _{i}{j_{i}}+1=\sum _{i}{3^{d_{i}}\cdot 2^{z_{i}}}+1,}$

wobei i, n natürliche Zahlen sind und j eine echte Janus-Zahl ist.

M-Schritt (beginnend mit ${\displaystyle c_{0}}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=3\cdot c_{0}+1=3\cdot (\sum _{i}j_{i}+1)+1\\&=3\cdot (\sum _{i}{3^{d_{i}}\cdot 2^{z_{i}}}+1)+1\\&=(\sum _{i}{3\cdot 3^{d_{i}}\cdot 2^{z_{i}}}+3\cdot 1)+1\\&=(\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}+3)+1=\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}+4\end{aligned}}}$

Das bedeutet aber, dass jeder Summand der Summe durch die rechts daneben stehende Zahl im Collatz-Schema oder auf dem Schachbrett ersetzt wird. Außerdem wird die 1 (auf dem dunkelgrauen Feld) ergänzt.

D-Schritt (beginnend mit ${\displaystyle c_{1}}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&={\frac {\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}+4}{2}}\\&={\frac {\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}}{2}}+2\\&=\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}-1}}+2\end{aligned}}}$

Das bedeutet aber, dass jeder Summand der Summe durch die darunter stehende Zahl im Collatz-Schema oder auf dem Collatzbrett ersetzt wird.