Für die Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge wird derselbe Ansatz gewählt wie im Kapitel Kurventheorie.

${\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}\left\|{\dot {\vec {x}}}\right\|\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}}$ unterscheidet sich allerdings, da ${\displaystyle {\vec {x}}}$ in Abhängigkeit von u und v gegeben ist und deswegen auch nach u und v abgeleitet wird.

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial u}}{\frac {du(t)}{dt}}+{\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial v}}{\frac {dv(t)}{dt}}}$

u(t) und v(t) sind die Funktionen (keine Vektoren!) mit denen die Flächenkurve auf der Fläche festgelegt wurde.

Das vollständige Differential in vereinfachter Schreibweise:

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\vec {x}}_{u}\cdot {\dot {u}}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {v}}}$

Im Integral steht der Betrag des Vektors. Das bedeutet, daß das vollständige Differential im ersten Schritt quadriert werden muß. Dadurch entsteht ein langer Ausdruck:

${\displaystyle ({\dot {\vec {x}}})^{2}=({\vec {x}}_{u}\cdot {\dot {u}}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {v}})^{2}={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{u}\cdot {\dot {u}}^{2}+2\cdot {\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {u}}\cdot {\dot {v}}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {v}}^{2}}$

Üblicherweise werden Abkürzungen eingeführt, die Gaußsche Fundamentalgrößen genannt werden:

${\displaystyle E={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{u}}$

${\displaystyle F={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}}$

${\displaystyle G={\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{v}}$

Das Integral sieht jetzt so aus:

${\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {E{\dot {u}}^{2}+2F{\dot {u}}{\dot {v}}+G{\dot {v}}^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

Durch Ableiten und anschließendes Quadrieren ergibt sich

${\displaystyle \left({\frac {ds}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=E{\dot {u}}^{2}+2F{\dot {u}}{\dot {v}}+G{\dot {v}}^{2}}$

Multiplizieren mit ${\displaystyle dt^{2}}$ (steckt in ${\displaystyle {\dot {u}}}$ und ${\displaystyle {\dot {v}}}$ drin!) ergibt die metrische oder erste Fundamentalform:

• Die römische I steht für die 'erste' Fundamentalform
• Die indizierten gs werden als Gaußsche Fundamentalgrößen bezeichnet.
• Die Gaußschen Flächenparameter u und v werden durch ${\displaystyle (u^{\alpha })}$ und ${\displaystyle (u^{\beta })}$ ersetzt.

(D.h. für ${\displaystyle \alpha =2}$ oder ${\displaystyle \beta =2}$ : ${\displaystyle u^{\alpha }=u^{\beta }=(u^{2})}$   bedeutet u mit Index 2 und nicht ${\displaystyle u\cdot u}$)

Die neue Darstellung mit den Indizes kommt vom ersten Fundamentaltensor. Der Tensor ist eine Metrik.

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}}$

Die Bogenlängen der Parameterlinien (u=const bzw. v=const) lassen sich einfach mit Hilfe der Fundamentalformen berechnen:

für v=const:

${\displaystyle s=\int {\sqrt {E}}\,\mathrm {d} u}$

für u=const:

${\displaystyle s=\int {\sqrt {G}}\,\mathrm {d} v}$

Für die zu Beginn des Kapitels Flächentheorie gegebene Parametrisierung der Kugel wird die erste Fundamentalform berechnet:

${\displaystyle {\vec {x}}_{u}=-R\cdot \sin {u}\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{x}}}+R\cdot \cos {u}\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{y}}}}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{v}=-R\cdot \cos {u}\cdot \sin {v}\cdot {\vec {e_{x}}}-R\cdot \sin {u}\cdot \sin {v}\cdot {\vec {e_{y}}}+R\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{z}}}}$

Fundamentalgrößen

${\displaystyle E=R^{2}\cos ^{2}{v}}$

${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle G=R^{2}}$

erste Fundamentalform

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(\cos {v}^{2}du^{2}+dv^{2})}$

Aus der ersten Fundamentalform lässt sich für die Parameterlinien eine Erkenntnis ableiten. Da F, das aus einem Skalarprodukt entsteht, Null ist, stehen alle u-Parameterlinien senkrecht zu den v-Parameterlinien.

Aus den Wurzeln von E und G lassen sich, da F Null ist, weitere Erkenntnisse ableiten.

u-Parameterlinien

Alle u-Parameterlinien sind Kreise mit dem Radius ${\displaystyle {\sqrt {G}}=R}$. Sie entsprechen den Meridianen mit fester Länge (u-Parameter) und variabler Breite (v-Parameter).

v-Parameterlinien

Die v-Parameterlinien haben feste Breite v bzw. ${\displaystyle \phi }$. Die Länge u ist variabel. Jede Parameterlinie hat ihren eigenen Radius ${\displaystyle {\sqrt {E}}=R\cos v}$.