Diffgeo: Kurventheorie: Torsion

Torsion oder Windung ist ein Maß für die Abweichung einer Kurve vom ebenen Verlauf. Die Windung beschreibt zusammen mit der Krümmung das lokale Verhalten der Kurve und kommt wie die Krümmung als Koeffizient in den Frenet'schen Formeln vor. Bis auf Verschiebungen und Drehungen legen Krümmung und Torsion also eine Kurve eindeutig fest.

Die betrachtete Kurve sei durch die Bogenlänge s parametrisiert:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(s)\,.}$

Für einen Kurvenpunkt ${\displaystyle {\vec {r}}(s)}$ erhält man durch Ableiten nach s den Tangenteneinheitsvektor

${\displaystyle {\vec {t}}(s)={\vec {r}}\,'(s)\,.}$

Erneutes Ableiten und Normieren liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor

${\displaystyle {\vec {n}}(s)={\frac {{\vec {t}}\,'(s)}{\|{\vec {t}}\,'(s)\|}}={\frac {{\vec {r}}\,''(s)}{\|{\vec {r}}\,''(s)\|}}\,.}$

Zusätzlich wird mit Hilfe des Vektorprodukts der Binormaleneinheitsvektor

${\displaystyle {\vec {b}}(s)={\vec {t}}(s)\times {\vec {n}}(s)}$

festgelegt. Die Ableitung des Binormaleneinheitsvektor ist gegeben durch:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}{\vec {b}}\,'(s)&=&{\vec {t}}\,'(s)\times {\vec {n}}(s)\;&+&\;{\vec {t}}(s)\times {\vec {n}}\,'(s)\\&=&{\vec {n}}(s)\times {\vec {n}}(s)\;&+&\;{\vec {t}}(s)\times {\vec {n}}\,'(s)\\&=&{\vec {t}}(s)\times {\vec {n}}\,'(s)&&\end{array}}}$

Die Torsion ${\displaystyle \tau (s)\,}$ der Kurve an der Stelle s ist nun durch das folgende Skalarprodukt festgelegt:

${\displaystyle \tau (s)=-{\vec {b}}\,'(s)\cdot {\vec {n}}(s)\,.}$

Für die praktische Berechnung eignet sich die oben gegebene Definition der Windung nicht besonders gut, da eine Parametrisierung durch die Bogenlänge vorausgesetzt wird. Die folgende Formel bezieht sich auf eine Kurve im dreidimensionalen Raum (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$), die als Funktion r eines beliebigen Parameters t (in der Praxis üblicherweise die Zeit) in der Form

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t)}$

gegeben ist:

${\displaystyle \tau (t)={\frac {\left({\vec {r}}\,'(t)\times {\vec {r}}\,''(t)\right)\cdot {\vec {r}}\,'''(t)}{\left\|{\vec {r}}\,'(t)\times {\vec {r}}\,''(t)\right\|^{2}}}}$

Im Falle einer ebenen Kurve gibt es nichts zu berechnen, da die Windung den Wert 0 hat.