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I = ∫ 0 ∞ erf 2 ( x ) e − a x d x = ∫ 0 ∞ erf 2 ( x ) e − a x 2 2 x d x {\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\text{erf}}^{\;2}\left({\sqrt {x}}\,\right)\,e^{-ax}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\text{erf}}^{\;2}(x)\,e^{-ax^{2}}\,2x\,dx} ist nach partieller Integration [ − 1 a e − a x 2 erf 2 ( x ) ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ 1 a e − a x 2 2 erf ( x ) 2 π e − x 2 d x = 2 a π ∫ 0 ∞ 2 erf ( x ) e − ( a + 1 ) x 2 d x {\displaystyle \left[-{\frac {1}{a}}\,e^{-ax^{2}}\,{\text{erf}}^{\;2}(x)\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{a}}\,e^{-ax^{2}}\,2\,{\text{erf}}(x)\,{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}\,dx={\frac {2}{a{\sqrt {\pi }}}}\int _{0}^{\infty }2\,{\text{erf}}(x)\,e^{-(a+1)x^{2}}\,dx} . Nach der Ersetzung erf ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t = 2 π ∫ 0 1 e − x 2 t 2 x d t {\displaystyle {\text{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{1}e^{-x^{2}t^{2}}\,x\,dt} ist I = 4 a π ∫ 0 ∞ ∫ 0 1 2 e − x 2 t 2 x e − ( a + 1 ) x 2 d t d x = 4 a π ∫ 0 1 ∫ 0 ∞ 2 x e − ( t 2 + a + 1 ) x 2 d x d t {\displaystyle I={\frac {4}{a\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{1}2\,e^{-x^{2}t^{2}}\,x\,e^{-(a+1)x^{2}}\,dt\,dx={\frac {4}{a\pi }}\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\,e^{-(t^{2}+a+1)x^{2}}\,dx\,dt} = 4 a π ∫ 0 1 1 t 2 + a + 1 d t = 4 a π ⋅ arccot 1 + a 1 + a {\displaystyle ={\frac {4}{a\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {1}{t^{2}+a+1}}\,dt={\frac {4}{a\pi }}\cdot {\frac {\operatorname {arccot} {\sqrt {1+a}}}{\sqrt {1+a}}}} .
ist nach partieller Integration
![{\displaystyle \left[-{\frac {1}{a}}\,e^{-ax^{2}}\,{\text{erf}}^{\;2}(x)\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{a}}\,e^{-ax^{2}}\,2\,{\text{erf}}(x)\,{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}\,dx={\frac {2}{a{\sqrt {\pi }}}}\int _{0}^{\infty }2\,{\text{erf}}(x)\,e^{-(a+1)x^{2}}\,dx}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b89c076acda51ae2c7a43cedff2bc4bf9bf19320.svg)
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