Formelsammlung Mathematik: Determinanten

${\displaystyle \det(AB)=\det {\Big (}A(b_{1},...,b_{n}){\Big )}=\det \left(A\sum _{j=1}^{n}b_{1j}\,e_{j},...,A\sum _{j=1}^{n}b_{nj}\,e_{j}\right)\,}$

${\displaystyle =\det \left(\sum _{j=1}^{n}b_{1j}a_{j},...,\sum _{j=1}^{n}b_{nj}a_{j}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{n}b_{1j_{1}}\cdots b_{nj_{n}}\,\det(a_{j_{1}},...,a_{j_{n}})}$

${\displaystyle =\sum _{(j_{1},...,j_{n})\in S_{n}}b_{1j_{1}}\cdots b_{nj_{n}}\,\det(a_{j_{1}},...,a_{j_{n}})=\underbrace {\sum _{(j_{1},...,j_{n})\in S_{n}}(-1)^{{\text{sgn}}(j_{1},...,j_{n})}\,b_{1j_{1}}\cdots b_{nj_{n}}} _{=\det(B)}\,\det(A)}$

Hat ${\displaystyle A\,}$ die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}\,}$, so hat ${\displaystyle \mathrm {e} ^{A}\,}$ die Eigenwerte ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\lambda _{1}},...,\mathrm {e} ^{\lambda _{n}}}$.

Also ist ${\displaystyle \det(\mathrm {e} ^{A})=\mathrm {e} ^{\lambda _{1}}\cdots \mathrm {e} ^{\lambda _{n}}=\mathrm {e} ^{\lambda _{1}+...+\lambda _{n}}=\mathrm {e} ^{{\text{tr}}(A)}}$.

Es sei ${\displaystyle V_{n}(x_{1},...,x_{n})=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}}$.

Zieht man von rechts nach links von jeder Spalte das ${\displaystyle x_{1}\,}$-fache der Vorgängerspalte ab, so ist

${\displaystyle V_{n}(x_{1},...,x_{n})=\det {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\1&x_{2}-x_{1}&(x_{2}-x_{1})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{1})x_{2}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{1}&(x_{n}-x_{1})x_{n}&\cdots &(x_{n}-x_{1})x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}}$.

Entwickelt man nach der ersten Zeile, dann besitzen die Elemente jeder Zeile einen gemeinsamen Faktor,

welcher sich aus der Restdeterminante rausziehen lässt.

Also ist ${\displaystyle V_{n}(x_{1},...,x_{n})=(x_{2}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{1})\,V_{n-1}(x_{2},...,x_{n})}$,

wobei nach Induktionsvoraussetzung ${\displaystyle V_{n-1}(x_{2},...,x_{n})=\prod _{2\leq i<j}(x_{j}-x_{i})}$ ist.

Und somit ist ${\displaystyle V_{n}(x_{1},...,x_{n})=\prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})\,}$.

Es sei ${\displaystyle A_{n}=(a_{ij})\,}$ die ${\displaystyle n\times n\,}$ Matrix mit ${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}}}$.

Zieht man von der ${\displaystyle i\,}$-ten Zeile ${\displaystyle (i=1,...,n-1)\,}$ das ${\displaystyle {\frac {x_{n}+y_{n}}{x_{i}+y_{n}}}}$-fache der ${\displaystyle n\,}$-ten Zeile ab, so erhält man

${\displaystyle A_{n}'=\left({\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}&B_{n-1}&\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\\\hline {\begin{matrix}{\frac {1}{x_{n}+y_{1}}}&{\frac {1}{x_{n}+y_{2}}}&\cdots \end{matrix}}&{\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\end{array}}\right)}$ mit einer ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)\,}$ Matrix ${\displaystyle B_{n-1}=(b_{ij})\,}$.

Hierbei ist ${\displaystyle b_{ij}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}}-{\frac {x_{n}+y_{n}}{x_{i}+y_{n}}}\cdot {\frac {1}{x_{n}+y_{j}}}}$

${\displaystyle ={\frac {(x_{i}+y_{n})(x_{n}+y_{j})-(x_{n}+y_{n})(x_{i}+y_{j})}{(x_{i}+y_{j})(x_{i}+y_{n})(x_{n}+y_{j})}}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}}\cdot {\frac {x_{i}-x_{n}}{x_{i}+y_{n}}}\cdot {\frac {y_{j}-y_{n}}{x_{n}+y_{j}}}}$.

Bei ${\displaystyle B_{n-1}\,}$ besitzen also die Elemente jeder Zeile den gemeinsamen Faktor ${\displaystyle {\frac {x_{i}-x_{n}}{x_{i}+y_{n}}}}$,

und die Elemente jeder Spalte besitzen den gemeinsamen Faktor ${\displaystyle {\frac {y_{j}-y_{n}}{x_{n}+y_{j}}}}$.

Zieht man diese gemeinsamen Faktoren aus ${\displaystyle \det B_{n-1}\,}$ heraus,

so ist ${\displaystyle \det B_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}{\frac {x_{i}-x_{n}}{x_{i}+y_{n}}}\cdot \prod _{j=1}^{n-1}{\frac {y_{j}-y_{n}}{x_{n}+y_{j}}}\,\det A_{n-1}}$,

wobei nach Induktionsvoraussetzung ${\displaystyle \det A_{n-1}={\frac {\prod \limits _{i<j<n}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod \limits _{i<j<n}(y_{i}-y_{j})}{\prod \limits _{i,j=1}^{n-1}(x_{i}+y_{j})}}}$ ist.

Also ist ${\displaystyle \det A_{n}=\det A_{n}'=\det B_{n-1}\cdot {\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}}$

${\displaystyle {\frac {\prod \limits _{i<j=n}(x_{i}-x_{j})\,\prod \limits _{i<j=n}(y_{i}-y_{j})}{\prod \limits _{i=1}^{n-1}(x_{i}+y_{n})\cdot \prod \limits _{j=1}^{n-1}(x_{n}+y_{j})\cdot (x_{n}+y_{n})}}\cdot \det A_{n-1}={\frac {\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})\,\prod \limits _{i<j}(y_{i}-y_{j})}{\prod \limits _{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{j})}}}$.