Formelsammlung Mathematik: Differenzialgleichungen

Bestimme erst eine Lösung ${\displaystyle y_{h}\,}$ der homogenen Dgl. ${\displaystyle y'+P(x)y=0}$.

${\displaystyle y'=-P(x)y\,\Rightarrow \,{\frac {y'}{y}}=-P(x)\,\Rightarrow \,\log y=-\int P(x)\,dx\,\Rightarrow \,y=e^{-\int P(x)\,dx}}$

Setzt man ${\displaystyle \mu =e^{\int P(x)\,dx}}$, so ist mit ${\displaystyle y_{h}={\frac {1}{\mu }}}$ eine homogene Lösung gefunden.

Um die inhomogene Gleichung ${\displaystyle y'+P(x)\,y=Q(x)}$ zu lösen, mache den Ansatz Variation der Konstanten ${\displaystyle y=c\cdot y_{h}}$:

${\displaystyle Q(x)=y'+P(x)\,y=c'\cdot y_{h}+\underbrace {c\cdot y_{h}'+P(x)\cdot c\cdot y_{h}} _{=0}}$

${\displaystyle \Rightarrow \,c'={\frac {1}{y_{h}}}\cdot Q(x)=\mu \cdot Q(x)\,\Rightarrow \,c=\int \mu \cdot Q(x)\,dx}$

Die Lösungsformel lautet also:

${\displaystyle y={\frac {1}{\mu }}\,\int \mu \cdot Q(x)\,dx=e^{-\int P(x)\,dx}\,\int e^{\int P(x)\,dx}\,Q(x)\,dx}$

Die Funktion ${\displaystyle y=e^{\lambda x}}$ löst die Dgl., wenn zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ das charakteristische Polynom ${\displaystyle P(\lambda )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,\lambda ^{k}}$ verschwindet.

Hat die Nullstelle ${\displaystyle \lambda \,}$ die algebraische Vielfachheit ${\displaystyle \nu }$, so ist ${\displaystyle y=x^{m}\,e^{\lambda x}}$ für ${\displaystyle m=0,...,\nu -1}$ auch Lösung.

Nach der Leibniz-Regel ist ${\displaystyle D^{k}\left(x^{m}\,e^{\lambda x}\right)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}\,\,D^{j}\,x^{m}\,\,D^{k-j}\,e^{\lambda x}}$, wobei ${\displaystyle D^{j}\,x^{m}}$ für ${\displaystyle j>m}$ verschwindet.

Also ist ${\displaystyle D^{k}\left(x^{m}\,e^{\lambda x}\right)=\sum _{k=0}^{{\text{min}}(k,m)}{\frac {k!}{(k-j)!\,j!}}\,{\frac {m!}{(m-j)!}}\,x^{m-j}\,\lambda ^{k-j}\,e^{\lambda x}}$

und somit ist ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\,D^{k}\left(x^{m}e^{\lambda x}\right)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,\sum _{j=0}^{{\text{min}}(k,m)}{m \choose j}\,{\frac {k!}{(k-j)!}}\,\lambda ^{k-j}\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=j}^{n}a_{k}\,{m \choose j}\,{\frac {k!}{(k-j)!}}\,\lambda ^{k-j}\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\,\left[\sum _{k=j}^{n}a_{k}\,{\frac {k!}{(k-j)!}}\,\lambda ^{k-j}\right]\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\,P^{(j)}(\lambda )\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}=0}$.

Hat also das charakteristische Polynom ${\displaystyle P\,}$ die Wurzeln ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{r}}$ mit den Vielfachheiten ${\displaystyle \nu _{1},...,\nu _{r}}$,

so hat die allgemeine Lösung der Dgl. die Form ${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{r}\sum _{\ell =0}^{\nu _{k}-1}c_{k,\ell }\,x^{\ell }\,e^{\lambda _{k}x}}$.

Dividiere die Gleichung mit ${\displaystyle y^{n}\,}$ durch:

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+P(x)\,{\frac {1}{y^{n-1}}}=Q(x)}$

Substituiere ${\displaystyle z={\frac {1}{y^{n-1}}}\,\,\left(z'=(-n+1)\,{\frac {y'}{y^{n}}}\right)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{-n+1}}\,z'+P(x)\,z=Q(x)}$

Multipliziere mit ${\displaystyle -n+1}$ durch und ersetze ${\displaystyle {\widetilde {P}}(x):=(-n+1)\cdot P(x)}$ sowie ${\displaystyle {\widetilde {Q}}(x):=(-n+1)\cdot Q(x)}$:

${\displaystyle z'+{\widetilde {P}}(x)\,z={\widetilde {Q}}(x)}$

Das Lösen der Bernoullischen Dgl. ist damit auf das Lösen der linearen Dgl. 1. Ordnung zurückgeführt.

Ist bereits eine partikuläre Lösung ${\displaystyle y_{p}\,}$ bekannt, so folgt aus

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}y'=P(x)\,y^{2}+Q(x)\,y+R(x)\\y'_{p}=P(x)\,y_{p}^{2}+Q(x)\,y_{p}+R(x)\end{matrix}}\right]}$ die Gleichung ${\displaystyle y'-y'_{p}=P(x)\,(y^{2}-y_{p}^{2})+Q(x)\,(y-y_{p})}$.

Setzt man ${\displaystyle u=y-y_{p}}$, so ist ${\displaystyle y^{2}-y_{p}^{2}=(y+y_{p})(y-y_{p})=(u+2y_{p})\,u}$

und damit ${\displaystyle u'=P(x)\,(u+2y_{p})\,u+Q(x)\,u}$.

${\displaystyle \Rightarrow \,u'=P(x)\,u^{2}+{\Big (}2y_{p}\,P(x)+Q(x){\Big )}\,u\,\Rightarrow \,u'+{\Big (}-2y_{p}P(x)-Q(x){\Big )}\,u=P(x)\,u^{2}}$

Das Lösen der Riccatischen Dgl. ist damit auf das Lösen der Bernoullischen Dgl. zurückgeführt.