Formelsammlung Mathematik: Eigenwerte

Setze ${\displaystyle f_{k}(x)=\sinh ^{k}(x)\cdot \cosh ^{n-k}(x)}$

und ${\displaystyle g_{k}(x)=(\cosh x+\sinh x)^{k}\cdot (\cosh x-\sinh x)^{n-k}=e^{(2k-n)x}}$.

Und es sei ${\displaystyle V\,}$ der Vektorraum von Funktionen mit ${\displaystyle \left\{f_{k}(x)\right\}}$ als Basis.

Wegen ${\displaystyle f_{k}'(x)=k\cdot f_{k-1}(x)+(n-k)\cdot f_{k+1}(x)\in V}$ gilt ${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{0}'(x)\\\vdots \\f_{n}'(x)\end{pmatrix}}=A\cdot {\begin{pmatrix}f_{0}(x)\\\vdots \\f_{n}(x)\end{pmatrix}}}$.         ${\displaystyle {\vec {f}}^{\,\prime }(x)=A\cdot {\vec {f}}(x)}$

Wegen ${\displaystyle g_{k}(x)\in V}$ gibt es eine Transformationsmatrix ${\displaystyle T\,}$, so dass ${\displaystyle {\begin{pmatrix}g_{0}(x)\\\vdots \\g_{n}(x)\end{pmatrix}}=T\cdot {\begin{pmatrix}f_{0}(x)\\\vdots \\f_{n}(x)\end{pmatrix}}}$ gilt.         ${\displaystyle {\vec {g}}(x)=T\cdot {\vec {f}}(x)}$

Und es ist ${\displaystyle {\vec {g}}^{\,\prime }(x)={\begin{pmatrix}g_{0}'(x)\\g_{1}'(x)\\\vdots \\g_{n-1}'(x)\\g_{n}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-n\cdot g_{0}(x)\\(-n+2)\cdot g_{1}(x)\\\vdots \\(n-2)\cdot g_{n-1}(x)\\n\cdot g_{n}(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-n\\&-n+2\\&&\ddots \\&&&&n-2\\&&&&&n\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{0}(x)\\g_{1}(x)\\\vdots \\g_{n-1}(x)\\g_{n}(x)\end{pmatrix}}}$.         ${\displaystyle {\vec {g}}^{\,\prime }(x)=\Lambda \cdot {\vec {g}}(x)}$

${\displaystyle {\vec {g}}^{\,\prime }(x)=\Lambda \cdot {\vec {g}}(x)}$ ist gleichbedeutend mit ${\displaystyle \left(T\cdot {\vec {f}}(x)\right)'=\Lambda \cdot \left(T\cdot {\vec {f}}(x)\right)}$.

Also ist ${\displaystyle T\cdot {\vec {f}}^{\,\prime }(x)=\Lambda \cdot T\cdot {\vec {f}}(x)}$ und somit ${\displaystyle {\vec {f}}^{\,\prime }(x)=T^{-1}\cdot \Lambda \cdot T\cdot {\vec {f}}(x)}$.

Daraus folgt ${\displaystyle A=T^{-1}\cdot \Lambda \cdot T}$. Die Kac-Matrix ${\displaystyle A\,}$ ist ähnlich zur Diagonalmatrix ${\displaystyle \Lambda \,}$ und besitzt daher die selben Eigenwerte.