Formelsammlung Mathematik: Folgen

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Grenzwert

Definition. Konvergente Folge, Grenzwert, Epsilon-Umgebung.

Eine Folge $(a_{n})$ mit $a_{n}\in X$ heißt konvergent gegen $g$ , wenn gilt:

\forall \varepsilon {>}0\;\;\exists n_{0}{\in }\mathbb {N} \;\;\forall n{\geq }n_{0}\colon \;a_{n}\in U_{\varepsilon }(g).

Man schreibt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=g$ bzw. $a_{n}\to g$ für $n\to \infty$ und nennt $g$ den Grenzwert von $(a_{n})$ . Die Menge

U_{\varepsilon }(g):=\{p\in X\mid d(p,g)<\varepsilon \}

heißt $\varepsilon$ -Umgebung von $g$ . Somit gilt

a_{n}\in U_{\varepsilon }(g)\iff d(a_{n},g)<\varepsilon

.

Beschaffenheit von $X$	Abstandsfunktion
$X=\mathbb {R}$	$d(p,g)=\|p-g\|$
$X$ ist ein normierter Raum	$d(p,g)=\\|p-g\\|$
$X$ ist ein metrischer Raum	$d(p,g)$ ist die Metrik

Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert. Voraussetzung: die Werte der Folge liegen in einem Hausdorff-Raum. Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum und jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum.

Häufungspunkte

Definition. Häufungspunkt.

Ein Punkt $h$ heißt Häufungspunkt einer Folge $a_{n}$ , wenn gilt:

\forall \varepsilon {>}0\;\;\forall n_{0}{\in }\mathbb {N} \;\;\exists n{\geq }n_{0}\colon \;\;a_{n}\in U_{\varepsilon }(h).

In Worten: Ein Punkt heißt Häufungspunkt, wenn in jeder Umgebung des Punktes unendlich viele Werte der Folge liegen.

Grenzwertsätze

Vergleichssatz

Gilt $a_{n}\to a$ und $b_{n}\to b$ und ab einem bestimmten Index immer $a_{n}\leq b_{n}$ , so ist auch $a\leq b$ .

Einschnürungssatz

Gilt $a_{n}\to g$ und $b_{n}\to g$ und ab einem bestimmten Index immer $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ , so gilt auch $c_{n}\to g$ .

Rechenregeln

Seien $(a_{n})$ und $(b_{n})$ konvergente Folgen von reellen Zahlen mit $a_{n}\to a$ und $b_{n}\to b$ . Es gilt:

\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=a+b,

\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=a-b,

\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=ab.

Ist $b\neq 0$ , so gilt:

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}.

Allgemeine Rechenregeln

Seien $(a_{n})$ und $(b_{n})$ konvergente Folgen von reellen Zahlen mit $a_{n}\to a$ und $b_{n}\to b$ .

Ist $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ stetig bei $a$ , so gilt:

\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(a).

Ist $g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ stetig bei $(a,b)$ , so gilt:

\lim _{n\to \infty }g(a_{n},b_{n})=g(a,b).

Konvergenzkriterien

Monotoniekriterium

Man betrachte Folgen von reellen Zahlen.

Jede monoton wachsende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach oben beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Supremum der Folge.
Jede monoton fallende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach unten beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Infimum der Folge.

Cauchy-Kriterium

Definition. Cauchy-Folge.

Eine Folge $(a_{n})$ von Punkten eines metrischen Raums $(X,d)$ heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

\forall \varepsilon {>}0\;\;\exists n_{0}{\in }\mathbb {N} \;\;\forall m{\geq }n_{0},n{\geq }n_{0}\colon \;\;d(a_{m},a_{n})<\varepsilon .

Man setze speziell $d(x,y):=|x-y|$ bzw. $d(x,y):=\|x-y\|$ .

Cauchy-Kriterium: Eine Folge von reellen Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.