Formelsammlung Mathematik: Fourierreihen

Seien ${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ periodische Funktionen mit Periodendauer ${\displaystyle T}$. Definition:

${\displaystyle \langle f,g\rangle :={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}\,g(t)\,\mathrm {d} t}$.

Bemerkung: Im Fall einer rein reellen Funktion ist die Konjugation wirkungslos und kann somit entfallen.

Diese Operation ist ein Skalarprodukt auf dem Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(t_{0},t_{0}+T)}$.

Manchmal ist die Interpretation von ${\displaystyle t}$ nicht zeitartig. In diesem Fall bieten sich auch die alternativen Bezeichnungen ${\displaystyle x\equiv t}$ und ${\displaystyle P\equiv T}$ an. Einige Autoren verwenden die Substitution ${\displaystyle \varphi :=\omega t}$ anstelle der Festlegung ${\displaystyle T:=2\pi }$ oder ${\displaystyle x:=t/T}$ anstelle von ${\displaystyle T:=1}$.

Meistens ist ${\displaystyle T:=2\pi }$ und ${\displaystyle t_{0}:=-T/2}$. In diesem Fall gilt

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\overline {f(t)}}\,g(t)\,\mathrm {d} t}$.

Das Skalarprodukt induziert die Fourier-Norm

${\displaystyle \|f\|:={\sqrt {\langle f,f\rangle }}.}$

Die Definition des Skalarproduktes ist so gewählt, dass es sich bei ${\displaystyle \|f\|}$ um den Effektivwert von ${\displaystyle f}$ handelt.

Die Norm induziert die Fourier-Metrik

${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|}$.

Die Funktionen

${\displaystyle b_{k}(t)=\mathrm {e} ^{k\mathrm {i} \omega t}}$

mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ bilden die ONB (Orthonormalbasis)

${\displaystyle B=\{b_{k}\mid k\in \mathbb {Z} \}.}$

Mit ${\displaystyle \omega :={\tfrac {2\pi }{T}}}$ ist die Kreisfrequenz gemeint.

allgemein	${\displaystyle T=2\pi ,\,t_{0}=-\pi }$
${\displaystyle a_{k}[f]={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\cos(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle a_{k}[f]={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(kt)f(t)\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle k\geq 0}$
${\displaystyle b_{k}[f]={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\sin(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle b_{k}[f]={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(kt)f(t)\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle k\geq 1}$

Formeln für symmetrische Funktionen:

Bedingung
${\displaystyle f(-x)=f(x)}$	${\displaystyle b_{k}=0}$	${\displaystyle a_{k}={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}\cos(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t}$
${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$	${\displaystyle a_{k}=0}$	${\displaystyle b_{k}={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}\sin(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t}$

Die Operationen ${\displaystyle a_{k}[f]}$ und ${\displaystyle b_{k}[f]}$ sind lineare Funktionale:

Additivität	Homogenität ${\displaystyle (\lambda \in \mathbb {R} )}$
${\displaystyle a_{k}[f\pm g]=a_{k}[f]\pm a_{k}[g]}$	${\displaystyle a_{k}[\lambda f]=\lambda a_{k}[f]}$
${\displaystyle b_{k}[f\pm g]=b_{k}[f]\pm b_{k}[g]}$	${\displaystyle b_{k}[\lambda f]=\lambda b_{k}[f]}$

allgemein	${\displaystyle T=2\pi ,\,t_{0}=-\pi }$
${\displaystyle c_{k}[f]={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\mathrm {e} ^{-k\mathrm {i} \omega t}\,f(t)\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle c_{k}[f]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {e} ^{-k\mathrm {i} t}\,f(t)\,\mathrm {d} t}$

Kurz:

${\displaystyle c_{k}[f]=\langle b_{k},f\rangle }$.

Bei ${\displaystyle c_{k}[f]}$ handelt es sich um ein lineares Funktional. Es gilt

${\displaystyle c_{k}[f\pm g]=c_{k}[f]\pm c_{k}[g],}$

${\displaystyle c_{k}[\lambda f]=\lambda c_{k}[f]\quad (\lambda \in \mathbb {C} ).}$

reell zu komplex	komplex zu reell
${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{2}}a_{0}}$	${\displaystyle a_{0}=2c_{0}}$
${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k}-b_{k}\mathrm {i} )}$	${\displaystyle a_{k}=c_{k}+c_{-k}}$
${\displaystyle c_{-k}={\frac {1}{2}}(a_{k}+b_{k}\mathrm {i} )}$	${\displaystyle b_{k}=(c_{k}-c_{-k})\mathrm {i} }$

Alle Formeln gelten für ${\displaystyle k\geq 1}$.

Für ${\displaystyle m,n\geq 0}$ gilt:

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mt)\sin(nt)\,\mathrm {d} t=0.}$

Für ${\displaystyle m,n\geq 1}$ gilt:

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mt)\cos(nt)\,\mathrm {d} t=\pi \delta _{mn}}$

und

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mt)\sin(nt)\,\mathrm {d} t=\pi \delta _{mn}.}$

Für ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ gilt

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\mathrm {e} ^{-m\mathrm {i} \omega t}\mathrm {e} ^{n\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t=\delta _{mn}}$,

wobei ${\displaystyle \delta _{mn}}$ das Kronecker-Delta ist. Kurz:

${\displaystyle \langle b_{m},b_{n}\rangle =\delta _{mn}.}$

Fourier-Polynom:

${\displaystyle p_{n}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}[a_{k}\cos(k\omega t)+b_{k}\sin(k\omega t)].}$

Ist ${\displaystyle f}$ eine stetig differenzierbare periodische Funktion, so gilt für alle ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle f(t)=\lim _{n\to \infty }p_{n}(t).}$

Für ${\displaystyle f\in L^{2}(-\pi ,\pi )}$ gilt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|p_{n}-f\|=0.}$

Fourier-Polynom:

${\displaystyle p_{n}(t)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}\,\mathrm {e} ^{k\mathrm {i} \omega t}.}$

Abstrakte Darstellung: Für ${\displaystyle f\in L^{2}(-\pi ,\pi )}$ gilt:

${\displaystyle f=\sum _{b\in B}\langle b,f\rangle \,b.}$

${\displaystyle B}$: Orthonormalbasis des Hilbertraums ${\displaystyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$.