Formelsammlung Mathematik: Lineare Funktionen

Dreisatz-Aufgabe
Gegeben ist ein Punkt ${\displaystyle (x_{0}|y_{0})}$. Einsetzen ergibt ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})=mx_{0}\iff m={\frac {y_{0}}{x_{0}}}.}$ Da ${\displaystyle m}$ nun bekannt ist, kann für eine weitere Stelle ${\displaystyle x_{1}}$ der Wert ${\displaystyle y_{1}=f(x_{1})=mx_{1}}$ bestimmt werden.

Im Fall ${\displaystyle m\neq 0}$ handelt es sich um eine Polynomfunktion ersten Grades.

Der Graph einer affinen Funktion ist eine Gerade.

Aufgabe. Bestimmt werden soll die affine Funktion, deren Graph durch die beiden unterschiedlichen Punkte ${\displaystyle P_{1}=(x_{1}|y_{1})}$ und ${\displaystyle P_{2}=(x_{2}|y_{2})}$ verläuft.

Ansatz: Für ${\displaystyle f(x)=mx+n}$ lässt sich ${\displaystyle n}$ durch den Ansatz

${\displaystyle y_{2}-y_{1}=f(x_{2})-f(x_{1})=mx_{2}-mx_{1}}$

eliminieren. Die Gleichung wird nach ${\displaystyle m}$ umgeformt.

Lösung: Anstieg:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Ordinatenabschnitt:

${\displaystyle n=y_{1}-mx_{1}.}$

Die Lösung kann auch direkt angegeben werden:

${\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1}.}$

Aufgabe. Bestimmt werden soll die affine Funktion mit Anstieg ${\displaystyle m}$, deren Graph durch den Punkt ${\displaystyle P=(x_{1}|y_{1})}$ geht.

Lösung: Es ergibt sich die Funktion:

${\displaystyle f(x)=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}=mx+(y_{1}-mx_{1}).}$