Formelsammlung Mathematik: Quadratische Gleichungen

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Allgemein

Definition

Definition. Quadratische Gleichung.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

ax^{2}+bx+c=0

mit reellen Zahlen a, b, c und a≠0.

Definition. Normalform einer quadratischen Gleichung.

Die Form

x^{2}+px+q=0

heißt Normalform der quadratischen Gleichung.

Lösung

Für jede quadratische Gleichung gibt es wegen a≠0 die Äquivalenzumformung

ax^{2}+bx+c=0\iff x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}=0.

Somit lässt sich jede quadratische Gleichung über p:=b/a und q:=c/a in die Normalform bringen.

Die Zahl D = p²−4q heißt Diskriminante. Es werden drei Fälle unterschieden.

`D`>0	`D`=0	`D`<0
Es gibt zwei Lösungen: $x_{1}=-{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}},$ $x_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}}.$	Es gibt eine Lösung: $x_{1}=-{\frac {p}{2}},$ $x_{2}=x_{1}.$	Es gibt keine reelle Lösung. Aber es gibt zwei komplexe Lösungen: $x_{1}=-{\frac {p}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {-D}},$ $x_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {-D}}.$ Die Lösungen sind zueinander konjugiert: ${\overline {x_{2}}}=x_{1}.$

Kompakte Lösungsformel:

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\Big (}{\frac {p}{2}}{\Big )}^{2}-q}}=-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Satz von Vieta

Satz von Vieta.

Für die Lösungen x₁, x₂ der quadratischen Gleichung gilt:

p=-(x_{1}+x_{2}),

q=x_{1}x_{2}.

Lösungen als Nullstellen

Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung lässt sich als Menge der Nullstellen einer quadratischen Funktion beschreiben.

Für die quadratische Funktion

f(x):=ax^{2}+bx+c

ist $f(x)=0$ die zugehörige quadratische Gleichung.

Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen von $f$ .

Spezialfälle

Kein absoluter Term

Bei einer quadratischen Gleichung der Form

ax² + bx = 0.

lässt sich die linke Seite faktorisieren. Man erhält (ax+b)x = 0. Es gilt

(ax+b)x = 0 genau dann, wenn ax+b = 0 oder x = 0.

Damit ergeben sich zwei Lösungen:

x₁ = 0,

x₂ = −b/a.

Kein linearer Term

Eine quadratische Gleichung der Form

ax² + c = 0

lässt sich in die Form

x² = −c/a

bringen. Es werden drei Fälle unterschieden.

`c`/`a` < 0	`c`=0	`c`/`a` > 0
$x_{1}=-{\sqrt {-c/a}},$ $x_{2}={\sqrt {-c/a}}.$	`x`₁=`x`₂=0	Es gibt keine reelle Lösung. Es gibt aber zwei komplexe Lösungen: $x_{1}=-\mathrm {i} {\sqrt {c/a}},$ $x_{2}=\mathrm {i} {\sqrt {c/a}}.$

Komplexe Koeffizienten

Betrachte

az^{2}+bz+c=0

mit komplexen Zahlen z, a, b, c und a≠0.

Die Gleichung lässt sich wie im reellen normieren, und man bildet wieder die Diskriminante

D=p^{2}-4q

.

Jede quadratische Gleichung besitzt zwei komplexe Lösungen, die im Fall D=0 zu einer doppelten Lösung zusammenfallen.

Die Lösungen sind

z_{1}=-{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}}

und

z_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}},

wobei

{\sqrt {D}}:={\sqrt {|D|}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg(D)/2}

der Hauptwert der komplexen Wurzel von D ist.

Die komplexe Wurzel von D ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung $w^{2}=D$ , das ist gerade $\pm {\sqrt {D}}$ .