Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Poissonsche Summationsformel

Es sei ${\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(x+k)\qquad (1)}$

Wegen der Periodizität ${\displaystyle F(x+1)=F(x)\,}$ lässt sich ${\displaystyle F\,}$ in eine komplexe Fourierreihe entwickeln: ${\displaystyle F(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\,e^{2\pi inx}\qquad (2)}$

Nun ist ${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,e^{-2\pi imx}\,dx=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\underbrace {\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,e^{-2\pi imx}\,dx} _{=\delta _{nm}}=c_{m}}$.

Also ist ${\displaystyle c_{m}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{1}f(x+k)\,e^{-2\pi imx}\,dx=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\int _{k}^{k+1}f(x)\,e^{-2\pi im(x-k)}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-2\pi imx}\,dx={\hat {f}}(m)}$.

Nach ${\displaystyle (1)\,}$ ist ${\displaystyle F(0)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(k)}$ und nach ${\displaystyle (2)\,}$ ist ${\displaystyle F(0)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}}$, was gerade ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n)}$ ist.

Ist ${\displaystyle f\,}$ gerade, so ist ${\displaystyle {\hat {f}}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,e^{-2\pi int}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\cos(2\pi nt)\,dt=2\cdot {\widehat {f_{C}}}(n)}$.

Nun ist ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n)\,\Rightarrow \,f(0)+2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)={\hat {f}}(0)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\hat {f}}(n)=\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt+4\sum _{n=1}^{\infty }{\widehat {f_{C}}}(n)}$

${\displaystyle \Rightarrow \,\sum _{n=1}^{\infty }f(n)=-{\frac {1}{2}}\,f(0)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt+2\sum _{n=1}^{\infty }{\widehat {f_{C}}}(n)}$.