Formelsammlung Physik/ Elektrostatik

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema Elektrostatik. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Q bzw. q = ${\displaystyle \Psi }$. Einheit: [Q] = C = As (Coulomb = Ampere Sekunde)

${\displaystyle e=\,1{,}60217662\cdot 10^{-19}\mathrm {As} }$

Die Ladung ist vielfaches der elektrische Elementarladung ${\displaystyle e}$

${\displaystyle Q=eN\quad {\text{mit}}\quad N\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \lambda ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} l}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{l}\lambda ({\vec {r}})\,\mathrm {d} l.}$

${\displaystyle \sigma ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} A}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{A}\sigma ({\vec {r}})\,\mathrm {d} A}$

${\displaystyle \rho ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V}$,

${\displaystyle Q_{\mathrm {tot} }=\sum _{i}Q_{i}=\int \limits _{V}{q_{i}\,\cdot \,\mathrm {d} V}}$

${\displaystyle Q_{\mathrm {tot} }\,}$: Gesamtladung im abgeschlossenen System

${\displaystyle Q_{i}/q_{i}}$: Einzelladungen

${\displaystyle V,\mathrm {d} V}$: Volumen , w:infinitesimales Volumenelement

skalar:

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}}$

vektoriell:

${\displaystyle {\vec {F}}\,=\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}}$

${\displaystyle \varepsilon \,}$: w:Permittivität (Dielektrizitätszahl)

${\displaystyle \varepsilon _{0}\,}$: w:elektrische Feldkonstante ${\displaystyle =\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\rm {As}}{\rm {Vm}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }\,}$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

${\displaystyle \pi \,}$: (Pi) w:Kreiszahl ${\displaystyle =\,3{,}14159265\dots }$

${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$: Ladungen

${\displaystyle {\vec {r}}\,}$: Abstandsw:vektor der Ladungen

${\displaystyle r=|{\vec {r}}|\,}$: Abstand der Ladungen

skalar:

${\displaystyle \Psi =Q=\sum {\varepsilon \,\cdot E_{N}\,\cdot \,\Delta A}\qquad {\textrm {mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$

wenn homogen:

${\displaystyle \Psi =Q=}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D\,\cdot \,\mathrm {d} A}$

vektoriell:

${\displaystyle \Psi =Q=}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon \,\cdot {\vec {E}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}\quad \mathrm {mit} \quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \Psi =Q=}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {D}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}}$

geschlossene Fläche:

${\displaystyle \Psi \,=\,\sum _{A}{Q_{e}}}$

${\displaystyle Q_{e}}$: eingeschlossene Ladung

${\displaystyle \varepsilon \,}$: Permittitvität (Dielektrizitätszahl)

${\displaystyle \varepsilon _{0}\,}$: elektrische Feldkonstante ${\displaystyle =\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }\,}$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

${\displaystyle E_{\mathrm {N} }=|{\vec {E}}|\cdot \,\cos(\varphi )\,}$: Normalkomponente

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Die elektrische Feldstärke ist eine vektorielle Größe; sie hat somit einen Betrag und eine Richtung.

${\displaystyle {\vec {E}}\qquad {\text{Einheit:}}\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}\quad {\text{bzw.}}\quad {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {C} }}}$

Die Einheiten veranschaulichen die einfachste Berechnungen des E-Feldes:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}={\frac {\mathrm {d} U}{\vec {\mathrm {d} l}}}}$

Feldstärke im Potenzialfeld:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\operatorname {grad} (\varphi )}$

skalar:

${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}$

vektoriell:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$: Elektrische Feldkonstante ${\displaystyle =8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$: Dielektrizitätszahl

äußeres Feld:

skalar:

${\displaystyle E={\frac {Q}{2\pi \varepsilon lr}}={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon r}}\quad {\text{mit}}\quad \rho ={\frac {Q}{l}}}$

vektoriell:

${\displaystyle {\vec {E}}(P)={\frac {Q}{2\pi \varepsilon l({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))\quad {\text{mit}}\quad {\vec {e_{l}}}={\frac {\vec {l}}{|{\vec {l}}|}},\quad {\vec {p}}={\vec {OP}}}$

inneres Feld:

Für eine Statische Ladungsverteilung muss die Summe aller Kräfte auf jede Ladung 0 sein. Da Ladungen im inneren eines Leiters frei beweglich sind gilt, darf es kein Feld geben. Diesem würde jede Ladung folgen, bis auftretende Ladungsverteilungen das Ursprungsfeld kompensieren. Das heißt, dass es keine Potentialdifferenz gibt:

${\displaystyle \Delta U=0}$.

${\displaystyle U({\vec {r}})={\text{const.}}}$ erfüllt diese Bedingung. Wonach das Feld 0 sein muss:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})=0}$

Nach dem Eindeutigkeitssatz, ist dies die richtige Lösung.

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${\displaystyle U\qquad {\text{Einheit ist Volt: }}\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {C} }}}$

${\displaystyle \varphi \qquad {\text{Einheit: }}\mathrm {V} }$

${\displaystyle U_{AB}={\frac {W_{AB}}{q}}}$

${\displaystyle U_{AB}=\int \limits _{A}^{B}{{\vec {E}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}}}$

im homogenen Feld:

${\displaystyle U_{AB}={\vec {E}}\cdot {\vec {s}}}$

${\displaystyle \varphi _{A}=U_{AZ}=-\int \limits _{Z}^{A}{{\vec {E}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}}}$

${\displaystyle Z}$: Bezugspunkt; ${\displaystyle \varphi _{Z}=0}$

Wenn kein bewegendes Magnetischesfeld vorhanden ist.

${\displaystyle \oint {\vec {E}}\cdot {\rm {d}}{\vec {s}}=0}$

${\displaystyle \oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {A}}={\mathcal {E}}}$

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die Kapazität ist ein Maß für die Speicherfähigkeit eines Kondensators. Ihr Symbolbuchstabe ist:

${\displaystyle C\ }$

Ihre Einheit ist das Farad:

${\displaystyle [C]=1\,\mathrm {F} ={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {V} }}}$

Die Einheit veranschaulicht die einfachste Berechnung der Kapazität:

${\displaystyle C={\frac {Q}{U}}}$

${\displaystyle C={\frac {Q}{U}}={\frac {\oint _{A}\varepsilon {\vec {E(A)}}\cdot d{\vec {A}}}{\int _{A}^{B}{\vec {E(s)}}\cdot d{\vec {s}}}}}$

${\displaystyle C=\varepsilon {\frac {A}{d}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \varepsilon }$: Permittivität (Dielektrizitätszahl)

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$: elektrische Feldkonstante ${\displaystyle =8{,}85418782\ldots \cdot 10^{-12}\,\mathrm {\frac {\mathrm {A} s}{\mathrm {V} m}} }$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

könnte z.B. ein Koax-Kabel sein

${\displaystyle C={\frac {2\pi \varepsilon l}{\ln {\frac {r_{\mathrm {a} }}{r_{\mathrm {i} }}}}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle r_{\mathrm {a} }}$: Außenradius

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }}$: Innenradius

${\displaystyle l}$: Zylinderlänge

${\displaystyle C=4\pi \varepsilon r\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle r}$: Kugelradius

${\displaystyle C={\frac {4\pi \varepsilon }{\left({{\frac {1}{r_{\rm {i}}}}-{\frac {1}{r_{\rm {a}}}}}\right)}}\quad {\rm {mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {a} }}$: äußerer Kugelradius

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }}$: innerer Kugelradius