Formelsammlung Physik/ Hydrostatik

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema Hydrostatik. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Konstanten:

g = w:Fallbeschleunigung

p₀ = w:Luftdruck über der Flüssigkeit

ρ = w:Dichte des Mediums

Druck in Tiefe x:

${\displaystyle p(x)=p_{0}+g\cdot \rho \cdot x}$

In w:Wasser ist ρ = 1000 kg/m³, ferner ist g = 9,81 m/s² und p₀ = 101325 Pa, somit

${\displaystyle p(x)=101325\,\mathrm {Pa} +9810\,\mathrm {\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}} \cdot x\ ,}$

also 9810 Pascal je Tiefenmeter. Faustregel: Alle 10 Meter nimmt der Druck um 1 Atmosphäre zu.

g = w:Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe h₀

p₀ = w:Luftdruck in Meereshöhe

Variablen:

R = w:universelle Gaskonstante,

M = w:molare Masse,

T = Temperatur in w:Kelvin

h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential

${\displaystyle p(h)=p_{0}\cdot \exp \left(-{\frac {1}{R}}\int _{h_{0}}^{h}{\frac {g(h')M(h')}{T(h')}}\,\mathrm {d} h'\right)}$

Für die Dichte gilt dabei

${\displaystyle \rho (h)=p(h)\cdot {\frac {M(h)}{R\,T(h)}}\ .}$

Konstanten:

R = w:universelle Gaskonstante,

M = w:molare Masse,

g = w:Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe

p₀ = w:Luftdruck in Meereshöhe

T = Temperatur in w:Kelvin

Variablen: h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential,

${\displaystyle p=p_{0}e^{-{\frac {h}{h_{s}}}}\quad {\mbox{mit}}\quad h_{s}={\frac {RT}{Mg}}}$

T₀ = w:Temperatur in Meereshöhe (Kelvin)

α = Temperaturgradient dT/dh

${\displaystyle p=p_{0}\left(1+{\frac {\alpha h}{T_{0}}}\right)^{\beta }\quad {\mbox{mit}}\quad \beta =-{\frac {Mg}{R\alpha }}}$

Variablen:

${\displaystyle i\geq 0}$ = Nummer der Luftschicht; 0 = unterste Schicht

p_i = Druck an der Basis der i-ten Luftschicht

T_i = Temperatur an der Basis der i-ten Schicht

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {T_{i+1}-T_{i}}{h_{i+1}-h_{i}}}}$ = Temperaturgradient der i-ten Luftschicht

${\displaystyle \beta _{i}=-{\frac {Mg}{R\alpha _{i}}}}$

Druck an der Obergrenze der i-ten Luftschicht

${\displaystyle p_{i+1}=p_{i}\cdot {\begin{cases}e^{-{Mg \over RT_{i}}(h_{i+1}-h_{i})},&{\text{wenn}}\quad \alpha _{i}=0\\\left(1+{\frac {\alpha _{i}(h_{i+1}-h_{i})}{T_{i}}}\right)^{\beta _{i}}&{\text{wenn}}\quad \alpha _{i}\neq 0\end{cases}}}$

Druck in beliebiger Höhe ${\displaystyle h_{n}\leq h\leq h_{n+1}}$:

${\displaystyle p(h)=p_{n}\cdot {\begin{cases}e^{-{Mg \over RT_{n}}(h-h_{n})},&{\text{wenn}}\quad \alpha _{n}=0\\\left(1+{\frac {\alpha _{n}(h-h_{n})}{T_{n}}}\right)^{\beta _{n}}&{\text{wenn}}\quad \alpha _{n}\neq 0\end{cases}}}$

Temperatur:

${\displaystyle T(h)=T_{n}+\alpha _{n}\left(h-h_{n}\right)}$

Beispiel: w:Standardatmosphäre bis etwa 90 Kilometer Höhe (M = 29 g/mol).

Konstanten:

${\displaystyle \mu _{i}={M_{i+1}-M_{i} \over h_{i+1}-h_{i}}}$ = Gradient der molaren Masse M in der i-ten Schicht, so dass für beliebige ${\displaystyle h_{n}\leq h\leq h_{n+1}}$ gilt

${\displaystyle M(h)=M_{n}+\mu _{n}\left(h-h_{n}\right)}$

Fall A: Isotherm

${\displaystyle p(h)=p_{n}\cdot \exp \left(-{\frac {g(h-h_{n})}{R\,T_{n}}}\left(M_{n}-\mu _{n}\cdot h_{n}+{\mu _{n} \over 2}\cdot (h+h_{n})\right)\right)}$

Fall B: Stückweise lineare Temperatur

${\displaystyle p(h)=p_{n}\cdot \left(1+{\frac {\alpha _{n}(h-h_{n})}{T_{n}}}\right)^{\gamma _{n}}\cdot \exp \left(-{\frac {g\mu _{n}}{R\alpha _{n}}}(h-h_{n})\right)}$

mit

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {g(\mu _{n}T_{n}-\alpha _{n}M_{n})}{R\alpha _{n}^{2}}}}$

Der rekursive Aufbau aller Schichten i = 0...n erfolgt analog zur Atmosphäre mit stückweise linearer Temperatur. Beispiel für nichtkonstantes M: Erdatmosphäre oberhalb von 90 Kilometern Höhe (abschnittweise linear interpoliert).

Alternativ kann an Stelle von T auch eine durch die Molekularmasse "skalierte Temperatur", T_M, verwendet werden:

${\displaystyle T_{M}(h)=T(h)\cdot {\frac {M_{0}}{M(h)}}\quad \mathrm {bzw.} \quad M(h)=M_{0}{\frac {T(h)}{T_{M}(h)}}}$

An Stelle des wahren Temperaturgradienten α tritt α_M, der Gradient von T_M. Da M in der Formel durch M₀ ersetzt wird, kann die einfachere Formel für konstantes M verwendet werden. Allerdings ist, insbesondere bei kleiner Anzahl der Stützstellen, zu beachten, dass M(h) hier nicht wie die Temperatur stückweise linear ist, denn der Molmassengradient µ ist nun nicht mehr konstant in jeder Teilschicht, sondern hat nach der w:Quotientenregel die Gestalt

${\displaystyle \mu ={\mathrm {d} M \over \mathrm {d} h}=M_{0}{\frac {\alpha T_{M}-\alpha _{M}T}{T_{M}^{2}}}\ .}$

h = Geopotential-Höhe

z = Wahre Höhe

R = Erdradius

${\displaystyle z(h)={\frac {R\,h}{R-h}}\quad \mathrm {bzw.} \quad h(z)={\frac {R\,z}{R+z}}}$

⇒ z ≈ h für kleine h