Formelsammlung Statistik/ Parameterschätzung

Das Zufallsintervall enthält mit einer Wahrscheinlichkeit 1-α den Parameter:

${\displaystyle P\left({\bar {x}}-z_{1-\alpha /2}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq -\mu \leq {\bar {x}}+z_{1-\alpha /2}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha }$

Konfidenzintervall

${\displaystyle \left[{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};{\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\;.}$

(Quantil z aus Normalverteilungstabelle)

Für normalverteilte Merkmale und unbekannter Varianz muss die Varianz durch s² geschätzt werden.

${\displaystyle P\left({\bar {x}}-t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha \;.}$.

Konfidenzintervall

${\displaystyle \left[{\bar {x}}-t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]\;.}$

(Quantil ${\displaystyle t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1)}$ aus der t-Verteilungstabelle bei Freiheitsgrad n-1).

Konfidenzintervall

${\displaystyle \left[{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};{\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\;.}$ für n > 30.

Konfidenzintervall

${\displaystyle \left[{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {s}{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]\;.}$ für n > 50

Beschreibung durch den geschätztem Anteilswert ${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x}{n}}}$. Für n > 100 und ${\displaystyle n{\hat {p}}(1-{\hat {p}})\geq 9}$)

erhält man das 1-α-Konfidenzintervall für p durch eine Approximation der Binomialverteilung mit Hilfe der Normalverteilung:

${\displaystyle \left[{\hat {p}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\ ;\ {\hat {p}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\right].}$

Für ${\displaystyle n>{\tfrac {9}{p(1-p)}},n>100n/N\leq 0,05}$ kann die hypergeometrische Verteilung durch die Normalverteilung approximiert werden:

${\displaystyle (1-\alpha )}$-Konfidenzintervall für ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle \left[\ p-z\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right){\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\ ;\ p+z\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right){\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\ \right].}$