Lineare Algebra: Grundlagen: Körper

Körper stellen eine Struktur bereit, auf der sich die Operationen Addition und Multiplikation durchführen lassen. Dies impliziert durch Existenz von additiven und multiplikativen Inversen auch die Subtraktion und die Division.

Ein Körper ${\displaystyle K}$ ist eine nichtleere Menge mit einer Addition ${\displaystyle +\colon K\times K\to K}$ und einer Multiplikation ${\displaystyle \cdot \colon K\times K\to K}$, falls ${\displaystyle (K,+)}$ und ${\displaystyle (K\setminus \{0\},\cdot )}$ abelsche Gruppen bilden und zudem für ${\displaystyle a,b,c\in K}$ gilt: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$.

Ein Körper ${\displaystyle K}$ heißt endlich, falls ${\displaystyle |K|<\infty }$.

• Die Mengen ${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$ der rationalen bzw reellen Zahlen bilden mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Körper.
• Die Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bildet keinen Körper, denn etwa zu ${\displaystyle 2\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ existiert kein multiplikatives Inverses in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}:=\{0,1\}}$ mit den folgenden Verknüpfungen einen Körper:

  ${\displaystyle +\colon \mathbb {F} _{2}\times \mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2},(0,0)\mapsto 0,(0,1)\mapsto 1,(1,0)\mapsto 1,(1,1)\mapsto 0}$

  ${\displaystyle \cdot \colon \mathbb {F} _{2}\times \mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2},(0,0)\mapsto 0,(0,1)\mapsto 0,(1,0)\mapsto 0,(1,1)\mapsto 1}$