Abbildungsmatrizen – „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel lernen wir, wie wir lineare Abbildungen zwischen beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen mithilfe von Matrizen beschreiben können. Die darstellende Matrix einer solchen linearen Abbildung $f\colon V\to W$ ist von der Wahl von Basen in $V$ und in $W$ abhängig. Ihre Spalten sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren von $V$ .

Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume

Im Artikel zur Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, wie wir eine lineare Abbildung $K^{n}\to K^{m}$ durch eine Matrix beschreiben können. Auf diese Weise können wir lineare Abbildungen zwischen $K^{n}$ und $K^{m}$ vergleichsweise einfach angeben und klassifizieren. Können wir so eine Beschreibung auch für lineare Abbildungen zwischen allgemeinen Vektorräumen finden?

Formell ausgedrückt, betrachten wir die Frage: Gegeben zwei endlichdimensionale $K$ -Vektorräume $V$ und $W$ , wie können wir eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ vollständig beschreiben?

Um diese Frage zu beantworten, können wir versuchen, sie auf den Fall von $K^{n}$ und $K^{m}$ zurückzuführen. Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum zu einem $K^{n}$ isomorph ist. Das heißt, es gilt $V\cong K^{n}$ und $W\cong K^{m}$ . Dabei ist $n=\dim(V)$ und $m=\dim(W)$ . Dieser Isomorphismus funktioniert wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis $B=(b_{1},\dots ,b_{n})$ von $V$ . Durch Darstellung eines Vektors in $V$ bzgl. $B$ erhalten wir die Koordinatenabbildung $k_{B}\colon V\to K^{n}$ , die $v=\lambda _{1}b_{1}+\dots +\lambda _{n}b_{n}\in V$ auf $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in K^{n}$ abbildet. Genauso erhalten wir den Isomorphismus $k_{C}\colon W\to K^{m}$ nach Wahl einer Basis $C$ von $W$ . Hierbei ist es wichtig, dass $B$ und $C$ geordnete Basen sind, da wir für unterschiedliche Anordnung der Basisvektoren eine andere Abbildung bekommen würden.

Mithilfe dieser Isomorphismen können wir aus unserer Abbildung $f\colon V\to W$ eine Abbildung $f'\colon K^{n}\to K^{m}$ machen: Wir setzen dafür $f'=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$ . Um diese Konstruktion zu verstehen, können wir uns einmal das folgende Diagramm ansehen:

Zu dieser Abbildung $f'$ können wir wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix $M$ zuordnen.

Haben wir damit unser Ziel erreicht? Wenn dem so ist, können wir aus $M$ die Abbildung $f$ rekonstruieren. Aus dem Artikel Hinführung zu Matrizen wissen wir bereits, dass wir mit der induzierten Abbildung aus $M$ die Abbildung $f'\colon K^{n}\to K^{m}$ rekonstruieren können. Nun sind $k_{B}$ und $k_{C}$ Isomorphismen. Das heißt, wir können die Abbildung $f$ aus $f'$ rekonstruieren, indem wir $k_{C}^{-1}\circ f'\circ k_{B}=k_{C}^{-1}\circ k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}\circ k_{B}=f$ bilden.

Also können wir $M$ die zu $f$ zugeordnete Matrix nennen. Wir müssen mit dieser Bezeichnung jedoch vorsichtig sein: Sie hängt von der Wahl der geordneten Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ ab. Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, um aus $f$ eine Matrix zu konstruieren. Erst nachdem wir die Basen $B$ und $C$ gewählt haben, haben wir einen eindeutigen Weg gefunden, um für $f$ eine Matrix zu finden. Somit sollte die oben konstruierte Matrix $M$ eigentlich "die zu $f$ bezüglich den Basen $B$ und $C$ zugeordnete Matrix" heißen. Passenderweise können wir $M$ mit $M_{C}^{B}(f)$ bezeichnen. Durch die Konstruktion füllt diese Matrix genau die untere Zeile im folgenden Diagramm:

Definition

Definition (Abbildungsmatrix)

Seien $K$ ein Körper, $V$ und $W$ $K$ -Vektorräume der Dimension $n$ bzw. $m$ . Sei $B$ eine Basis von $V$ mit Koordinatenabbildung $k_{B}:V\to K^{n}$ und $C$ eine Basis von $W$ mit Koordinatenabbildung $k_{C}:W\to K^{m}$ . Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung. Definiere $g:K^{n}\to K^{m}$ durch $g=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$ . Nun ist die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. der Basen $B$ und $C$ gegeben durch die zugehörige Matrix von $g$ , d.h. die $i$ -te Spalte der $m\times n$ Matrix enthält das Bild $g(e_{i})$ des $i$ -ten Standardbasisvektors unter $g$ . Wir schreiben diese als $M_{C}^{B}(f)$ .

Warnung

Beachte, dass die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ von den gewählten (geordneten) Basen $B$ und $C$ abhängt! Wählt man andere Basen, bekommt man im Allgemeinen einen andere Matrix. Das gilt auch, wenn man nur die Reihenfolge der Basisvektoren ändert. Deshalb verwenden wir geordnete Basen.

Hinweis

Die Abbildungsmatrix wird auch Darstellungsmatrix oder zugeordnete Matrix genannt.

Rechnen mit Abbildungsmatrizen

Berechnung einer Abbildungsmatrix

Wie können wir die zugehörige Matrix zu $f\colon V\to W$ finden? Also wie können wir die Einträge der Matrix $M_{C}^{B}(f)$ konkret berechnen?

Der $j$ -te Spaltenvektor der Matrix $M_{C}^{B}(f)$ ist gegeben durch $(k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1})(e_{j})$ . Wir wollen also diesen Vektor bestimmen. Es gilt $(k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1})(e_{j})=k_{C}(f(k_{B}^{-1}(e_{j})))$ . Die definierende Eigenschaft der Koordinatenabbildung $k_{B}$ ist, dass diese Abbildung den Basisvektor $b_{j}$ auf $e_{j}$ abbildet. Deshalb gilt $k_{B}^{-1}(e_{j})=b_{j}$ . Die $j$ -te Spalte von $M_{C}^{B}(f)$ ist also der Vektor $(k_{C}(f(b_{j}))$ . Um herauszufinden, wie $k_{C}$ den Vektor $f(b_{j})$ abbildet, müssen wir diesen Vektor in der Basis $C$ darstellen. Es gibt Skalare $a_{1j},a_{2j},\ldots ,a_{mj}\in K$ , so dass $f(v_{j})=\sum _{i=0}^{m}a_{ij}c_{i}$ . Dann gilt

k_{C}(f(b_{j}))={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\dots \\a_{mj}\end{pmatrix}}.

Damit ist der $ij$ -te Eintrag von $M_{C}^{B}(f)$ als der Eintrag $a_{ij}$ aus der Basisdarstellung $f(b_{j})=\sum _{i=0}^{m}a_{ij}c_{i}$ gegeben.

Definition (Abbildungsmatrix, alternative)

Seien $K$ ein Körper, $V$ und $W$ endlich-dimensionale $K$ -Vektorräume. Sei $B=\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ eine Basis von $V$ und $C=\{c_{1},\dots ,c_{m}\}$ eine Basis von $W$ . Sei $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung. Seien $a_{ij}\in K$ so, dass $f(b_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}c_{i}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ gilt. Dann definieren wir die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich $B$ und $C$ als die Matrix $M_{C}^{B}(f)=(a_{ij})_{ij}$ .

Hinweis

Die Spalten von $M_{C}^{B}(f)$ sind also die Koordinaten bzgl. $C$ der Bilder der Basisvektoren von $B$ . Wir können das auch so notieren: $M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}k_{C}(f(b_{1}))&k_{C}(f(b_{2}))&\ldots &k_{C}(f(b_{n}))\end{pmatrix}}.$ Hier ist jeder Eintrag in der Zeile ein Spaltenvektor.

Beispiel (Berechnung der Abbildungsmatrix)

Sei $\mathbb {R} [x]_{\leq 2}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ und $\mathbb {R} [x]_{\leq 1}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 1 mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ . Wir definieren folgende lineare Abbildung

{\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} [x]_{\leq 2}&\to \mathbb {R} [x]_{\leq 1}\\p=p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}&\mapsto (p_{2}+p_{1})(x+1)+p_{0}\end{aligned}}

Man kann leicht prüfen, dass $f$ tatsächlich eine lineare Abbildung ist. Wir haben die Basen $B=(x^{2},x,1)$ von $\mathbb {R} [x]_{\leq 2}$ und $C=(x,1)$ von $\mathbb {R} [x]_{\leq 1}$ .

Gesucht ist die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ .

Dafür berechnen wir die Bilder der Basisvektoren aus $B$ und drücken das Ergebnis in der Basis $C$ aus:

{\begin{aligned}f(x^{2})&=f(1\cdot x^{2}+0\cdot x+0)=(1+0)(x+1)+0=x+1=1\cdot x+1\cdot 1\\f(x)&=f(0\cdot x^{2}+1\cdot x+0)=(0+1)(x+1)+0=x+1=1\cdot x+1\cdot 1\\f(1)&=f(0\cdot x^{2}+0\cdot x+1)=(0+0)(x+1)+1=1\cdot 1\end{aligned}}

Die Koeffizienten vor den Basisvektoren in $C$ sind die Einträge der gesuchten Matrix. Also ist

M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}

Verwendung der Abbildungsmatrix

Nun wissen wir, wie wir die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich der Basen $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ und $C=\{c_{1},\ldots ,c_{m}\}$ berechnen kann. Wozu können wir diese Matrix nutzen?

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor $f(v)$ jedes Vektors $v\in V$ berechnen. Dazu stellen wir zunächst $v$ bezüglich der Basis $B$ von $V$ dar, also $v=\lambda _{1}b_{1}+\lambda _{2}b_{2}+\cdots +\lambda _{n}b_{n}$ . Wir bezeichnen die Einträge der Abbildungsmatrix mit $M_{C}^{B}(f)=(a_{ij})$ . Dann gilt:

{\begin{aligned}f(v)&=f\left(\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}b_{j}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Linearität von }}f\right.}\\[0.3em]&=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}f(b_{j})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Abbildungsmatrix }}M_{C}^{B}(f)=(a_{ij})\right.}\\[0.3em]&=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}c_{i}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Umordnen der Summe}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\lambda _{j}\right)c_{i}\\[0.3em]\end{aligned}}

Wir erhalten also eine Darstellung des Vektors $f(v)=\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}c_{i}$ als Linearkombination der Basisvektoren von $C$ , mit Koordinaten

\mu _{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\lambda _{j}.

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

{\begin{pmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\vdots \\\mu _{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}\lambda _{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}\lambda _{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}\lambda _{j}\end{pmatrix}}

Mithilfe der Abbildungsmatrix erhalten wir also aus dem Koordinatenvektor $k_{B}(v)=(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ von $v$ den Koordinatenvektor $k_{C}(f(v))$ von $f(v)$ . Dafür multiplizieren wir $k_{B}(v)$ von links mit der darstellenden Matrix $M_{C}^{B}(f)$ :

k_{C}(f(v))=M_{C}^{B}(f)k_{B}(v)

Die Gleichung besagt, dass, ausgehend von einem Vektor $v\in V$ , im Diagramm zur darstellenden Matrix der rote und der blaue Pfad dasselbe Ergebnis liefern.

Anstatt mit einem Vektor $v\in V$ zu beginnen können wir auch mit einem beliebigen Vektor $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$ starten. Dann ist $x$ der Koordinatenvektor von $k_{B}^{-1}(x)=x_{1}\cdot b_{1}+\ldots +x_{n}\cdot b_{n}=:v$ . Ebenso können wir das Produkt $y=M_{C}^{B}(f)x\in K^{m}$ als einen Koordinatenvektor von $k_{C}^{-1}(y)=y_{1}\cdot c_{1}+\ldots +y_{m}\cdot c_{m}$ auffassen. Aus dem Diagramm wissen wir, dass $y$ der Koordinatenvektor von $f(v)$ ist. Es gilt also

f(k_{B}^{-1}(x))=k_{C}^{-1}(M_{C}^{B}(f)x)

Hier haben wir benutzt, dass die Koordinatenabbildungen Isomorphismen sind, wir die Pfeile von $k_{B}$ und $k_{C}$ im Diagramm also auch umgekehrt laufen können. Die Gleichung besagt, dass der rote und blaue Pfad im folgenden Diagramm dasselbe Ergebnis liefern:

Beispiel (Verwendung der Abbildungsmatrix)

Wir betrachten, wie oben die lineare Abbildung

{\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} [x]_{\leq 2}&\to \mathbb {R} [x]_{\leq 1}\\p=p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}&\mapsto (p_{2}+p_{1})(x+1)+p_{0}\end{aligned}}

und die Basen $B=(x^{2},x,1)$ von $\mathbb {R} [x]_{\leq 2}$ bzw. $C=(x,1)$ von $\mathbb {R} [x]_{\leq 1}$ .

Wir haben schon die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich dieser Basen berechnet:

M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}

Diese Matrix können wir nun nutzen, um $f(p)$ für ein Polynom $p\in \mathbb {R} [x]_{\leq 2}$ zu berechnen. Wir haben oben gesehen, dass

k_{C}(f(p))=M_{C}^{B}(f)k_{B}(p)

Um das zu verstehen, schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: Wir betrachten das Polynom $p:=5x^{2}-3x+10$ . Zuerst müssen wir $k_{B}(p)$ , d.h. die Koordinaten bezüglich der Basis $B$ , berechnen. Den Koordinatenvektor bildet sich aus den Vorfaktoren der Linearkombination in der Basis $B=(x^{2},x,1)$ . Wir haben

p:={\color {Orange}5}x^{2}{\color {Blue}-3}x+{\color {Purple}10}

Daraus können wir den Koordinatenvektor finden:

k_{B}(p)={\begin{pmatrix}\color {Orange}5\\\color {Blue}-3\\\color {Purple}10\end{pmatrix}}

Diesen Vektor können wir mit der Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ multiplizieren:

{\begin{aligned}&M_{C}^{B}(f)k_{B}(p)\\[0.5em]=&{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5\\-3\\10\end{pmatrix}}\\[0.5em]=&{\begin{pmatrix}2\\12\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Dieser Vektor $(2,12)^{T}$ ist $k_{C}(f(p))$ , also der Koordinatenvektor von $f(p)$ zu der Basis $C=(x,1)$ . Um daraus $f(p)$ zu erhalten, müssen wir die Koordinaten im Vektor $(2,12)^{T}$ als Vorfaktoren in der Linearkombination von $C$ zu schreiben. Also ist

f(p)=k_{C}^{-1}\left({\begin{pmatrix}2\\12\end{pmatrix}}\right)=2\cdot x+12\cdot 1=2x+12

Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen

Im folgenden Satz zeigen wir, dass die Verknüpfung von linearen Abbildungen der Multiplikation ihrer darstellenden Matrizen entspricht.

Satz (Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen)

Seien $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to X$ lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Seien ferner $B=\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}$ eine Basis von $V$ , $C=\{w_{1},\ldots ,w_{n}\}$ eine Basis von $W$ und $D=\{x_{1},\ldots ,x_{s}\}$ eine Basis von $X$ . Dann gilt

M_{D}^{B}(g\circ f)=M_{D}^{C}(g)\cdot M_{C}^{B}(f).

Beweis (Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen)

Sei $h=g\circ f$ und sei $(h_{ij})_{ij}=M_{D}^{B}(h)\in K^{s\times m}$ . Seien außerdem $M_{C}^{B}(f)=(f_{ij})_{ij}\in K^{n\times m}$ bzw. $M_{D}^{C}(g)=(g_{ij})_{ij}\in K^{s\times n}$ die darstellenden Matrizen von $f$ bzw. $g$ .

Nach Definition der darstellenden Matrix wissen wir, dass die $h_{ij}$ die eindeutigen Skalare sind, sodass

h(v_{j})=\sum _{i=1}^{s}h_{ij}x_{i}

für alle $j\in \{1,\ldots ,m\}$ gilt. Um $(h_{ij})=(g_{ij})(f_{ij})$ zu beweisen, müssen wir

h_{ij}=\sum _{k=1}^{n}g_{ik}f_{kj}

nachrechnen. In der Tat sehen wir:

{\begin{aligned}h(v_{j})&=\,g(f(v_{j}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{Definition von }}M_{C}^{B}(f)\right.}\\[0.3em]&=\,g\left(\sum _{k=1}^{n}f_{kj}w_{k}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{Linearität von }}g\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{k=1}^{n}f_{kj}g(w_{k})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{Definition von }}M_{D}^{C}(g)\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{k=1}^{n}f_{kj}\sum _{i=1}^{s}g_{ik}x_{i}\\[0.3em]&=\,\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{k=1}^{n}g_{ik}f_{kj}\right)x_{i}.\end{aligned}}

Wegen der Eindeutigkeit der Koordinaten in der Linearkombination der $x_{i}$ folgt $h_{ij}=\sum _{k=1}^{n}g_{ik}f_{kj}$ .

Warnung

Für die Kürzungsregel ist es wichtig, dass bei den darstellenden Matrizen von $f$ und $g$ in beiden Fällen dieselbe geordnete Basis $C$ von $W$ gewählt wird. Bildet man $M_{D}^{\tilde {C}}(g)$ für eine andere Basis ${\tilde {C}}\neq C$ von $W$ , dann gilt die Kürzungsregel nicht mehr: Die Gleichung

M_{D}^{B}(g\circ f)=M_{D}^{\tilde {C}}(g)\cdot M_{C}^{B}(f)

ist im Allgemeinen falsch. Weil darstellende Matrizen von der Reihenfolge der Basisvektoren abhängen, gilt das auch dann, wenn ${\tilde {C}}$ nur eine Umordnung von $C$ ist.

Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen

Mit Abbildungsmatrizen können wir nach einer festen Wahl geordneter Basen $B$ und $C$ eine Abbildung $f$ eindeutig eine Matrix $M_{C}^{B}(f)$ zuordnen. Das können wir nach der Wahl der Basen mit jeder beliebigen linearen Abbildung $f\colon V\to W$ machen. Dadurch erhalten wir eine Funktion, die eine Abbildung $f$ auf ihre Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ schickt:

{\begin{aligned}\operatorname {Hom} (V,W)&\to K^{m\times n}\\f&\mapsto M_{C}^{B}(f)\end{aligned}}

Bei dieser Formel ist $\operatorname {Hom} (V,W)$ , die Menge aller linearer Abbildungen von $V$ nach $W$ und $K^{m\times n}$ ist die Menge aller $m\times n$ -Matrizen.

Wie sind wir auf die Zuordnung der Matrix $M_{C}^{B}(f)$ zur Abbildung $f$ gekommen? Wir haben zu $f$ mit Hilfe der Basen $B$ und $C$ zuerst eine eindeutige Abbildung $f'\colon K^{n}\to K^{m}$ gefunden und danach die zu $f'$ zugeordnete Matrix bestimmt. Die Abbildung $f'$ ist durch die Koordinatenabbildungen definiert: $f'=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$ . Also haben wir die Zuordnung

{\begin{aligned}\operatorname {Hom} (V,W)&\to \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})\\f&\mapsto f':=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}\end{aligned}}

Weil $k_{C}$ und $k_{B}$ Bijektionen sind, können wir aus einem $f'\colon K^{n}\to K^{m}$ auch ein eindeutiges $f\colon V\to W$ bekommen, dem $f'$ zugeordnet wird. Dafür müssen wir nur $f:=k_{C}^{-1}\circ f'\circ k_{B}$ setzen.

Also haben wir eine Bijektion zwischen $\operatorname {Hom} (V,W)$ und $\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})$ .

Auch die Zuordnung

{\begin{aligned}\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})&\to K^{m\times n}\\f'&\mapsto M(f')\end{aligned}}

ist eine Bijektion, was wir schon im Artikel Einführung in Matrizen gesehen haben.

Also ist auch $\operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n}$ eine Bijektion, weil sie die Verknüpfung der beiden Bijektionen $\operatorname {Hom} (V,W)\to \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})$ und $\operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n}$ ist. Wie sieht aber die Umkehrung der Bijektion $\operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n}$ aus?

Die Umkehrabbildung $K^{m\times n}\to \operatorname {Hom} (V,W)$ bildet eine Matrix $A\in K^{m\times n}$ auf eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ ab, so dass $M_{C}^{B}(f)=A$ . Seien $B=(b_{1},\dots ,b_{n})$ und $C=(c_{1},\dots ,c_{m})$ geordnete Basen von $V$ und $W$ und $A=(a_{ij})$ , d.h. $a_{ij}$ ist die $i,j$ -te Komponente der Matrix $A$ . Wegen $M_{C}^{B}(f)=A$ muss gelten

f(b_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}c_{i}

Wegen dem Prinzip der linearen Fortsetzung ist $f$ dadurch schon komplett definiert. Wir sehen hier, dass dass die $a_{ij}$ das Gewicht von $c_{i}$ in $f(b_{j})$ ist. Intuitiv speichert die $j$ -ten Spalte der Abbildungsmatrix wieder das Bild des $j$ -ten Basisvektors, also $f(b_{j})$ .

Beispiel (1-zu-1 Korrespondenz)

Wir wollen die Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen an einem Beispiel besser verstehen. Die Bijektion ist gegeben durch

{\begin{aligned}\operatorname {Hom} (V,W)&\to K^{m\times n}\\f&\mapsto M_{C}^{B}(f),\end{aligned}}

wobei $B$ eine (geordnete) Basis von $V$ und $C$ eine (geordnete) Basis von $W$ ist. Wir betrachten die beiden $\mathbb {R}$ -Vektorräume $V=\mathbb {R} [x]_{\leq 2}$ und $W=\mathbb {R} [x]_{\leq 1}$ , d.h. die Vektorräume der Polynome mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ und Grad höchstens 2 bzw. 1. Für die Eins zu Eins Korrespondenz brauchen wir noch jeweils eine geordnete Basis von $V$ und von $W$ . Wir wählen $B:=(x^{2},x,1)$ und $C:=(x,1)$ . Was sind die Variablen $m$ und $n$ in diesem Beispiel? Die Zahl $m$ ist die Dimension des Vektorraums $W$ und $n$ ist die Dimension von $V$ . Also sind $m=2$ und $n=3$ .

Wir haben hier also die Bijektion

{\begin{aligned}\operatorname {Hom} (\mathbb {R} [x]_{\leq 2},\mathbb {R} [x]_{\leq 1})&\to \mathbb {R} ^{2\times 3}\\f&\mapsto M_{C}^{B}(f)\end{aligned}}

Das heißt jede lineare Abbildung $f$ von $\mathbb {R} [x]_{\leq 2}$ nach $\mathbb {R} [x]_{\leq 1}$ liefert eine $(2\times 3)$ -Matrix

M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}

mit Koeffizienten $a_{ij}\in \mathbb {R}$ . Zum Beispiel haben wir oben gesehen, dass zu der linearen Abbildung

{\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} [x]_{\leq 2}&\to \mathbb {R} [x]_{\leq 1}\\p=p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}&\mapsto (p_{2}+p_{1})(x+1)+p_{0}\end{aligned}}

und den gewählten Basen $B$ und $C$ die Matrix

M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}

korrespondiert.

Die Eins zu Eins Korrespondenz sagt aber noch mehr: Zu jeder $(2\times 3)$ -Matrix $A$ mit Koeffizienten in $\mathbb {R}$ gibt es eine eindeutige lineare Abbildung $f$ von $\mathbb {R} [x]_{\leq 2}$ nach $\mathbb {R} [x]_{\leq 1}$ , so dass $A$ die Abbildungsmatrix von $f$ ist, d.h. $M_{C}^{B}(f)=A$ .

Hinweis

Wenn wir eine passende Vektorraumstruktur auf der Menge der Matrizen $K^{m\times n}$ wählen, ist die oben erklärte Bijektion sogar ein Isomorphismus. Die Vektorraumstruktur, die wir auf den Matrizen wählen müssen, ist komponentenweise Addition und skalare Multiplikation. Das betrachten wir ausführlicher im Artikel "Vektorielle Operationen für Matrizen".

Beispiele

Wir berechnen die darstellende Matrix einer konkreten linearen Abbildung $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ bzgl. der Standardbasis.

Beispiel (Konkretes Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}

Sowohl im Urbildraum $\mathbb {R} ^{3}$ als auch im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ wird die kanonische Standardbasis gewählt:

B=\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)\,,\quad C=\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)

Es gilt:

f{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},\quad f{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}},\quad f{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

Damit ist die Abbildungsmatrix von $L$ bezüglich der gewählten Basen $B$ und $C$ :

M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}2&-3&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}

Betrachten wir nun dieselbe lineare Abbildung, aber eine andere Basis im Bildbereich.

Beispiel (Konkretes Beispiel mit anderer Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung $f$ des obigen Beispiels, also

f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}

Diesmal verwenden wir im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ die geordnete Basis

C'=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right)

Nun gilt:

f\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},

f\left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},

f\left({\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich der Basen $B$ und $C'$ :

M_{C'}^{B}(f)={\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}

Wir sehen, dass diese Matrix nicht gleich $M_{C}^{B}(f)$ aus dem ersten Beispiel ist.

Wir sehen aus den beiden vorherigen Beispielen, dass die darstellende Matrix einer linearen Abbildung von der gewählten Basis abhängt. Es ist wichtig, dass wir geordnete Basen betrachten: Die darstellende Matrix hängt auch von der Reihenfolge der Basisvektoren ab.

Beispiel (Konkretes Beispiel mit umgeordneter Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung $f$ des obigen Beispiels, also

f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}

Diesmal verwenden wir im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ die umgeordnete Standardbasis

C''=\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)

Nun gilt:

f\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},

f\left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}}=-2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}-3\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},

f\left({\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich der Basen $B$ und $C''$ :

M_{C''}^{B}(f)={\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&-3&0\end{pmatrix}}

Wir sehen, dass diese Matrix nicht gleich $M_{C}^{B}(f)$ aus dem ersten Beispiel ist. (Tatsächlich wurden gegenüber $M_{C}^{B}(f)$ aus dem ersten Beispiel die beiden Zeilen vertauscht.)

Umgekehrt können aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:

Beispiel (Konkretes Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)

Betrachte die lineare Abbildung

F\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y-z\\-y+2z\end{pmatrix}}

Wir wählen sowohl im Urbild- als auch im Bildbereich die Standardbasis

B=\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)\,,\quad C=\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)

und berechnen wie in den vorherigen Beispielen die darstellende Matrix von $F$ bzgl. dieser Basen zu

M_{C}^{B}(F)={\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}.

Das ist dieselbe Matrix wie die darstellende Matrix $M_{C'}^{B}(f)$ aus dem vorherigen Beispiel. Aber die linearen Abbildungen $F$ und $f$ sind nicht gleich, denn es gilt

f\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=F\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right).

Betrachten wir nun noch ein etwas abstrakteres Beispiel:

Beispiel (Polynome verschiedenen Grades)

Seien $K=\mathbb {R}$ , $V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ und $W$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ . Sei $f:V\to W$ definiert als die Ableitung eines Polynoms, d.h. für alle $p(x)\in V$ sei $p=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}\mapsto p'=p_{1}+2p_{2}x+3p_{3}x^{2}$ . Bei betrachtung der Basen: $B=(1,x,x^{2},x^{3})$ und $C=(1,x,x^{2})$ . Es gilt:

f(b_{1})=f(1)=0=0\cdot c_{1}+0\cdot c_{2}+0\cdot c_{3}

f(b_{2})=f(x)=1=1\cdot c_{1}+0\cdot c_{2}+0\cdot c_{3}

f(b_{3})=f(x^{2})=2x=0\cdot c_{1}+2\cdot c_{2}+0\cdot c_{3}

f(b_{4})=f(x^{3})=3x^{2}=0\cdot c_{1}+0\cdot c_{2}+3\cdot c_{3}

Somit erhält man für Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich der Basen $B$ und $C$ :

M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}