Aufgaben zu komplexen Zahlen – „Mathe für Nicht-Freaks“

Es ist

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=\left(1-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \right)(2+3\mathrm {i} )=2-\mathrm {i} +3\mathrm {i} -{\tfrac {3}{2}}\cdot \underbrace {\mathrm {i} ^{2}} _{=-1}\\&=2-\mathrm {i} +3\mathrm {i} +{\tfrac {3}{2}}={\tfrac {7}{2}}+2\mathrm {i} \end{aligned}}}$

Damit ist ${\displaystyle {\text{Re}}(z_{1})={\tfrac {7}{2}}}$ und ${\displaystyle {\text{Im}}(z_{1})=2}$.

Es ist

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{2}={\frac {1+\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}={\frac {(1+\mathrm {i} )^{2}}{(1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )}}={\frac {1+2\mathrm {i} +\mathrm {i} ^{2}}{1-\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {2\mathrm {i} }{2}}=\mathrm {i} \end{aligned}}}$

Damit ist ${\displaystyle {\text{Re}}(z_{2})=0}$ und ${\displaystyle {\text{Im}}(z_{2})=1}$.

Es ist

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{3}&={\frac {(4+2\mathrm {i} )(3-\mathrm {i} )}{\mathrm {i} (1+\mathrm {i} )}}={\frac {12+6\mathrm {i} -4\mathrm {i} -2\mathrm {i} ^{2}}{\mathrm {i} +\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {14+2\mathrm {i} }{\mathrm {i} -1}}\\[0.5em]&={\frac {(14+2\mathrm {i} )(\mathrm {i} +1)}{(\mathrm {i} -1)(\mathrm {i} +1)}}={\frac {14+14\mathrm {i} +2\mathrm {i} +2\mathrm {i} ^{2}}{\mathrm {i} ^{2}-1}}\\[0.5em]&={\frac {12+16\mathrm {i} }{-2}}=-6-8\mathrm {i} \end{aligned}}}$

Damit ist ${\displaystyle {\text{Re}}(z_{3})=-6}$ und ${\displaystyle {\text{Im}}(z_{3})=-8}$.

Die Menge ${\displaystyle M_{1}}$ beschreibt alle komplexen Zahlen, die die Bedingung ${\displaystyle |z-\mathrm {i} |\leq 2}$ erfüllen. In der komplexen Zahlenebene entspricht das genau den Zahlen ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, deren Abstand von der Zahl ${\displaystyle \mathrm {i} }$ höchstens ${\displaystyle 2}$ beträgt. Also beschreibt ${\displaystyle M_{1}}$ einen Kreis um ${\displaystyle \mathrm {i} }$ mit Radius ${\displaystyle 2}$. Die Kreislinie ist in der Menge eingeschlossen:

Für alle Elemente der Menge ${\displaystyle M_{2}}$ soll ${\displaystyle 1\leq |z|\leq 3}$ gelten. Also soll ihr Abstand vom Ursprung mindestens ${\displaystyle 1}$, jedoch höchstens ${\displaystyle 3}$ betragen. Damit beschreibt die Menge ${\displaystyle M_{2}}$ einen Kreisring zwischen den Kreisen mit den Radien ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 3}$, wobei die Kreislinien eingeschlossen sind:

Die Menge ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\;|z|\leq 2\}}$ beschreibt einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius ${\displaystyle 2}$:

Der zweite Teil ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\;{\text{Re}}(z)>{\text{Im}}(z)\}}$ der Menge ${\displaystyle M_{3}}$ beschreibt alle komplexen Zahlen, deren Realteil größer als ihr Imaginärteil ist. Nun liegen auf der Winkelhalbierenden des ersten bzw. dritten Quadranten alle Zahlen, deren Real- und Imaginärteil gleich groß sind. Rechts neben dieser Geraden liegen alle komplexe Zahlen mit größeren Real- als Imaginärteil:

Schneidet man diese beiden Mengen, so erhält man folgendes Bild:

Damit kann man die Menge ${\displaystyle M_{3}}$ skizzieren. Zu beachten ist, dass eine der begrenzenden Linien nur gestrichelt ist. Denn die Zahlen direkt auf der Ursprungsgerade gehören nicht zur Menge ${\displaystyle M_{3}}$, schließlich muss der Realteil jedes Elements echt größer sein als dessen Imaginärteil:

Der Betrag ist ${\displaystyle |z_{1}|={\sqrt {0^{2}+1^{2}}}=1}$. Wegen ${\displaystyle \operatorname {Re} (z_{1})=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Im} (z_{1})>0}$ ist ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}}}$. Damit ist ${\displaystyle z_{1}=\mathrm {i} =e^{{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i} }}$. Diese Formel könnte dir auch direkt bekannt sein.

Wir haben den Betrag ${\displaystyle |z_{2}|={\sqrt {1^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {2}}}$. Mit ${\displaystyle \operatorname {Re} (z_{2})>0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Im} (z_{2})<0}$ liegt die Zahl im vierten Quadranten. Die Formel dafür ist ${\displaystyle \varphi ={\text{arctan}}\left({\tfrac {-1}{1}}\right)=-45^{\circ }=-{\tfrac {\pi }{4}}}$. Also gilt ${\displaystyle z_{2}={\sqrt {2}}\cdot e^{-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {i} }}$.

Man erhält die Polardarstellung von ${\displaystyle z_{3}}$, indem man die Polardarstellung von ${\displaystyle z_{2}}$ zunächst komplex konjugiert und dann mit ${\displaystyle 2}$ multipliziert. Denn es ist:

${\displaystyle z_{3}=2+2\mathrm {i} =2(1+\mathrm {i} )=2\cdot {\overline {(1-\mathrm {i} )}}=2{\overline {z_{2}}}}$

Bei der komplexen Konjugation wird in der Polardarstellung im Exponenten ${\displaystyle \mathrm {i} }$ durch ${\displaystyle -\mathrm {i} }$ ersetzt. Also ist ${\displaystyle z_{3}=2{\sqrt {2}}\cdot e^{{\frac {\pi }{4}}\mathrm {i} }}$.

Durch Ausmultiplizieren erhält man ${\displaystyle z_{4}=(8-20)+(8+20)\cdot \mathrm {i} =-12+28\cdot \mathrm {i} }$. Also ${\displaystyle |z_{4}|={\sqrt {(-12)^{2}+(28)^{2}}}=4{\sqrt {58}}}$. Mit ${\displaystyle \operatorname {Re} (z_{4})<0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Im} (z_{4})>0}$ liegt die Zahl im zweiten Quadranten. Für den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ gilt dann ${\displaystyle \varphi =\pi -\arctan \left({\tfrac {28}{12}}\right)\approx 1,976}$. Dieses entspricht im Gradmaß einem Winkel von ${\displaystyle \varphi \approx 113,2^{\circ }}$. Insgesamt ergibt sich ${\displaystyle z_{4}=4{\sqrt {58}}\cdot e^{\left(\pi -\arctan \left({\frac {7}{3}}\right)\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 30,46\cdot e^{1,976\mathrm {\cdot } \mathrm {i} }}$.

Man bestimmt zunächst die Polardarstellung der drei Faktoren von ${\displaystyle z_{5}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&=9-{\sqrt {19}}\cdot \mathrm {i} ={\sqrt {9^{2}+{\sqrt {19}}^{2}}}\cdot e^{\arctan \left({\frac {-{\sqrt {19}}}{9}}\right)\cdot \mathrm {i} }\\&=10\cdot e^{\arctan \left({\frac {-{\sqrt {19}}}{9}}\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 10\cdot e^{-0.451\cdot \mathrm {i} }\\[0.5em]w_{2}&=2+{\sqrt {5}}\cdot \mathrm {i} ={\sqrt {2^{2}+{\sqrt {5}}^{2}}}\cdot e^{\arctan \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\cdot \mathrm {i} }\\&=3\cdot e^{\arctan \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 3\cdot e^{0,841\cdot \mathrm {i} }\\[0.5em]w_{3}&=3+4\cdot \mathrm {i} ={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}\cdot e^{\arctan \left({\frac {4}{3}}\right)\cdot \mathrm {i} }\\&=5\cdot e^{\arctan \left({\frac {4}{3}}\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 5\cdot e^{0,927\cdot \mathrm {i} }\end{aligned}}}$

Dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{5}&=w_{1}\cdot w_{2}\cdot w_{3}=\left(10\cdot e^{\arctan \left({\frac {-{\sqrt {19}}}{9}}\right)\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(3\cdot e^{\arctan \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(5\cdot e^{\arctan \left({\frac {4}{3}}\right)\cdot \mathrm {i} }\right)\\[0.5em]&\approx \left(10\cdot e^{-0,451\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(3\cdot e^{0,841\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(5\cdot e^{0,927\cdot \mathrm {i} }\right)\\[0.5em]&\approx 150\cdot e^{(-0,451+0,841+0,927)\cdot \mathrm {i} }\approx 150\cdot e^{1,317\cdot \mathrm {i} }\end{aligned}}}$

Zunächst bestimmen wir den Betrag und den Winkel von ${\displaystyle w=37+{\sqrt {395}}\mathrm {i} }$. Es ist ${\displaystyle |w|={\sqrt {37^{2}+{\sqrt {395}}^{2}}}=42}$ und ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} (w)=\arctan \left({\tfrac {\sqrt {395}}{37}}\right)\approx 0{,}493\ldots }$. Nun können wir die Polardarstellung von ${\displaystyle z_{6}}$ bestimmen:

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{6}&=(37+{\sqrt {395}}\mathrm {i} )^{123}=\left(42\cdot e^{\varphi \cdot \mathrm {i} }\right)^{123}=42^{123}\cdot e^{\varphi \cdot \mathrm {i} \cdot 123}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \varphi \approx 0{,}493\right.}\\[0.3em]&\approx 42^{123}\cdot e^{60{,}639\cdot \mathrm {i} }\underbrace {=} _{{\text{Modulo }}2\pi }42^{123}\cdot e^{4{,}090\cdot \mathrm {i} }\end{aligned}}}$