Formeln der Mengenlehre – „Mathe für Nicht-Freaks“

Auf dieser Seite haben wir wichtige Formeln der Mengenlehre für dich aufgelistet. Die Beweise findest du in den folgenden Kapiteln:

• Durchschnitt von Mengen
• Vereinigung von Mengen
• Differenz, symmetrische Differenz und Komplement

• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)}$
• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)}$
• ${\displaystyle \left(A\,\triangle \,B\right)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,\left(B\,\triangle \,C\right)}$

• ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
• ${\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A}$

• ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$
• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• ${\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C)}$

• ${\displaystyle A\cap A=A}$
• ${\displaystyle A\cup A=A}$

• ${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$
• ${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$

Im Folgenden sei ${\displaystyle M}$ die Grundmenge.

• ${\displaystyle A\cap M=A}$
• ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
• ${\displaystyle A\,\triangle \,\varnothing =A}$

Im Folgenden sei ${\displaystyle M}$ die Grundmenge.

• ${\displaystyle A\cup M=M}$
• ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$

• ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$
• ${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$

Im Folgenden sei ${\displaystyle M}$ die Grundmenge.

• ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$
• ${\displaystyle M^{\complement }=\varnothing }$
• ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }=M}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }$
• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=M}$
• ${\displaystyle A\,\triangle \,M=A^{\complement }}$
• ${\displaystyle A\,\triangle \,A^{\complement }=M}$

• ${\displaystyle (A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)}$
• ${\displaystyle A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)}$
• ${\displaystyle (A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)}$
• ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)}$
• ${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)}$
• ${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}$

Es gelten Assoziativität, Kommutativität, Distributivität und Neutralität, siehe dort.

• ${\displaystyle A\,\triangle \,A=\varnothing }$
• ${\displaystyle A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$
• ${\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$
• ${\displaystyle (A\triangle B)^{\complement }=(A^{\complement }\cap B^{\complement })\cup (A\cap B)}$