Potenzgleichungen – „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Abschnitt sollen die bisherigen Ergebnisse aus dem Kapitel zur Wurzel genutzt werden, um alle reellen Lösungen einer Potenzgleichung ${\displaystyle x^{n}=a}$ zu bestimmen.

Hier ist ${\displaystyle x=0}$ die einzige Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{n}=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Zum einen folgt aus ${\displaystyle 0^{n}=0}$, dass null eine Lösung der Potenzgleichung ist. Zum anderen ist ${\displaystyle x^{n}\neq 0}$ für alle ${\displaystyle x\neq 0}$, da ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null stets wieder ungleich null ist. Damit ist ${\displaystyle x=0}$ die einzige Lösung von ${\displaystyle x^{n}=0}$.

Sei ${\displaystyle a>0}$ und ${\displaystyle n=2k}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ eine gerade Zahl. Für diesen Fall benötigen wir die Hilfaussage ${\displaystyle x^{2}=|x|^{2}}$, falls ${\displaystyle x}$ eine reelle Zahl ist. Diese folgt direkt aus der Definition des Betrags: Ist ${\displaystyle x\geq 0}$, so ist ${\displaystyle |x|=x}$, und daher ${\displaystyle |x|^{2}=x^{2}}$. Ist andererseits ${\displaystyle x<0}$, so ist ${\displaystyle |x|=-x}$, und somit ${\displaystyle |x|^{2}=(-x)^{2}=x^{2}}$.

Damit folgt für unsere Potenzgleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}=a&\iff x^{2k}=a\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Potenzrechenregel}}\right.\\[0.5em]&\iff (x^{2})^{k}=a\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Hilfsaussage}}\right.\\[0.5em]&\iff (|x|^{2})^{k}=a\\[0.5em]&\iff |x|^{2k}=a\\[0.5em]&\iff |x|^{n}=a\\[0.5em]\end{aligned}}}$

Nun ist aber ${\displaystyle |x|=y>0}$. Also ist nach der Definition der Wurzel ${\displaystyle y=|x|={\sqrt[{n}]{a}}}$. Damit ergeben sich als Lösung der Potenzgleichung ${\displaystyle x^{k}=a}$ genau die beiden Lösungen:

${\displaystyle x_{1}={\sqrt[{n}]{a}}}$ und ${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt[{n}]{a}}}$

In diesem Fall hat die Gleichung ${\displaystyle x^{n}=a}$ keine Lösung, wie wir oben schon erwähnt hatten. Es gilt nämlich ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$ für alle reellen ${\displaystyle x}$. Damit gilt aber auch ${\displaystyle (x^{2})^{k}=x^{2k}=x^{n}\geq 0}$.

In diesem Fall hat die Gleichung ${\displaystyle x^{n}=a}$ die eindeutige Lösung

${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$

Nach Definition der Wurzel ist ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ die einzige positive Lösung der Potenzgleichung ${\displaystyle x^{n}=a}$. Weitere negative Lösungen kann diese nicht haben, denn für jedes ${\displaystyle x<0}$ gilt

${\displaystyle x^{n}=x^{2k+1}=\underbrace {x^{2k}} _{>0}\cdot \underbrace {x} _{<0}<0}$

In diesem Fall hat die Gleichung ${\displaystyle x^{n}=a}$ die eindeutige Lösung

${\displaystyle x=-{\sqrt[{n}]{-a}}}$

Lösung (Lösung der Potenzgleichung)

Zunächst gilt ${\displaystyle x^{n}=a\Leftrightarrow -x^{n}=-a>0}$. Da ${\displaystyle n=2k+1}$ ungerade ist, folgt ${\displaystyle -x^{n}=(-x)^{n}}$. Also ist die Potenzgleichung äquivalent zu

${\displaystyle (\underbrace {-x} _{=y})^{n}=(-x)^{2k+1}=\underbrace {-a} _{={\tilde {a}}}}$

Da ${\displaystyle {\tilde {a}}>0}$, ist dies nach Fall 4 äquivalent zu ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{\tilde {a}}}}$, also zu ${\displaystyle -x={\sqrt[{n}]{-a}}}$. Dies bedeutet aber

${\displaystyle x=-{\sqrt[{n}]{-a}}}$

Wir wollen nun die aus der Schule bekannte abc-Formel zur Berechung der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen. Wir suchen also alle reellen ${\displaystyle x}$, die für beliebige ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ die Gleichung

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

erfüllen. Um diese zu bestimmen, wandeln wir die quadratische Gleichung in eine Potenzgleichung 2. Grades (d.h. ${\displaystyle k=2}$) um. Dazu verwenden wir das aus der Schule ebenfalls bekannte Prinzip der quadratischen Ergänzung.

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c=0&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+{\tfrac {b}{a}}x)+c=0\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+2{\tfrac {b}{2a}}x)+c=0\\[0.5em]&\left\downarrow {\text{ quadratisches Ergänzen}}\right.\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+2{\tfrac {b}{2a}}x+\left({\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\tfrac {b}{2a}}\right)^{2})+c=0\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x^{2}+2{\tfrac {b}{2a}}x+\left({\tfrac {b}{2a}}\right)^{2})-a\cdot {\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}+c=0\\[0.5em]&\left\downarrow {\text{ 1.Binomische Formel }}\right.\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ a(x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}={\tfrac {b^{2}}{4a}}-c\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ (x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}={\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {c}{a}}\\[0.5em]&\Leftrightarrow \ (x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}={\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\[0.5em]\end{aligned}}}$

Setzen wir nun ${\displaystyle y=x+{\tfrac {b}{2a}}}$ und ${\displaystyle e={\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$, so erhalten wir die Potenzgleichung ${\displaystyle y^{2}=e}$. Diese ist lösbar, falls

${\displaystyle e={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\geq 0\iff b^{2}-4ac>0}$

ist, und hat nach dem 2. Fall von oben dann die Lösungen ${\displaystyle y_{1}={\sqrt {e}}}$ und ${\displaystyle y_{2}=-{\sqrt {e}}}$. Also ist

${\displaystyle x_{1}+{\frac {b}{2a}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}$ und ${\displaystyle x_{2}+{\frac {b}{2a}}=-{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}$

Nach den Rechenregeln für Wurzeln ist

${\displaystyle {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{{\sqrt {4}}{\sqrt {a^{2}}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}$

Wir erhalten damit die zwei Lösungen

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ und ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Anmerkungen zur abc-Formel:

• Die Zahl ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$, welche man bei den Lösungen unter der Wurzel vorfindet, nennt sich Diskriminante. Mit dem oben Gezeigten gilt

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left\{{\begin{array}{l}{\text{hat zwei Lösungen, falls }}D>0,\\{\text{hat eine Lösungen, falls }}D=0,\\{\text{hat keine Lösung, falls }}D<0\end{array}}\right.}$

• Setzen wir ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle b=p}$ und ${\displaystyle c=q}$, so erhalten wir die Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ mit der pq-Formel:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$