Mathematik: Analysis: Konvergenz von Folgen

Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle \left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle (X,d)}$. Bei Folgen sollte man die geschweiften Mengenklammern gerade nicht verwenden, sondern runde Klammern. ${\displaystyle \left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ heißt konvergent gegen den Grenzwert ${\displaystyle a}$, wenn ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists k_{0}\in \mathbb {N} :\forall k>k_{0}}$ gilt: ${\displaystyle d(a_{k},a)<\varepsilon }$.

Eine Folge mit dem Grenzwert ${\displaystyle a=0}$ nennt man eine Nullfolge.

Eine Folge ${\displaystyle \left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle (X,d)}$ heißt Cauchy-Folge, wenn ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists k_{0}\in \mathbb {N} :\forall k_{1},k_{2}>k_{0}}$ gilt: ${\displaystyle d(a_{k_{1}},a_{k_{2}})<\varepsilon }$.

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig.

Beispiel: Der Raum der reellen Zahlen ist vollständig. Der Raum der rationalen Zahlen hingegen nicht. Betrachtet man z.B. die Folge ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n}}$ mit ${\displaystyle a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$, so ist offensichtlich jedes Folgenglied in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Der Grenzwert ist jedoch ${\displaystyle e\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$ mit der eulerschen Zahl e.