Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen

Die Folge der Partialsummen der Reihe sei ${\displaystyle (s_{n}):=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$. Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}<\infty }$.

Der Grenzwert von ${\displaystyle (s_{n})}$ wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet: ${\displaystyle S=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)=:\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$.

Nicht konvergente Reihen heißen divergent.

Eine Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen ${\displaystyle (s_{n})}$ eine Cauchy-Folge ist.

Eine Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergiert absolut, wenn ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|}$ konvergiert.

Gegeben sei die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$. Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ heißt Majorantenreihe zu ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, falls ${\displaystyle \exists k_{0}\in \mathbb {N} \colon \forall k\geq k_{0}:\left|a_{k}\right|\leq b_{k}}$. Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen ${\displaystyle a_{k}}$ müssen kleineren Betrags als ${\displaystyle b_{k}}$ sein. Nämlich jene für die gilt ${\displaystyle k\geq k_{0}}$.

Wenn eine Majorantenreihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ konvergiert, so ist auch die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergent.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}\leq {\frac {3}{2}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {2\cdot n^{n-2}}{n^{n}}}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}}$.

Eine Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergiert absolut, wenn ${\displaystyle \exists k_{0}}$, so dass ${\displaystyle \forall k>k_{0}}$ gilt: ${\displaystyle \left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq q<1}$

Eine Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergiert absolut, wenn ${\displaystyle \exists k_{0}}$ mit ${\displaystyle \forall k>k_{0}:{\sqrt[{k}]{\left|a_{k}\right|}}\leq q<1}$

Reihen ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot a_{k}}$ mit ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} }$ heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.

Sei ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n})=0}$.

Dann konvergiert die Reihe.

${\displaystyle \left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }=\left({\frac {(-1)^{k}}{k}}\right)_{k=1}^{\infty },a_{k}\cdot a_{k+1}={\frac {(-1)^{k}(-1)^{k+1}}{k\cdot (k+1)}}={\frac {-1}{k\cdot (k+1)}}<0}$ (Reihe alterniert)

${\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}\cdot a_{k}=(-1)^{k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}={\frac {1}{k}}}$, also ${\displaystyle \left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }=\left({\frac {1}{k}}\right)_{k=1}^{\infty }\rightarrow 0}$ (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)

Sei ${\displaystyle a_{k}=f(k)}$, wobei ${\displaystyle f:[1,\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)<\infty \Leftrightarrow \int _{1}^{\infty }f(t)\ dt<\infty }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}$ konvergiert, da ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t^{2}}}}$ monoton fallend ist und ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}}}\ dt=-{\frac {1}{t}}|_{1}^{\infty }=1<\infty }$