Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Wichtige Ungleichungen

In diesem Kapitel werden 3 bekannte Ungleichungen eingeführt, die auch immer wieder verwendet werden. Mit einer dieser Ungleichungen lassen sich ganzzahlige Potenzen abschätzen. Bei dieser Ungleichung wird kurz auf die Rechenregeln für ganzzahlige Exponenten eingegangen.

Für nichtnegative Zahlen ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\geq 0}$ und ${\displaystyle y\geq 0}$ bezeichnet man ${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}}$ als arithmetisches Mittel und ${\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}}$ als geometrisches Mittel dieser Zahlen.
Es gilt:     ${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {x\cdot y}}}$.
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn ${\displaystyle x=y}$.

Wegen der Rechenregeln für Ungleichungen ist diese Behauptung äquivalent zu
    ${\displaystyle \left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}\geq x\cdot y}$.
Für den Beweis ist daher die Existenz von Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen keine Voraussetzung.

Beweis

Zu zeigen ist also ${\displaystyle \left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}\geq x\cdot y}$.
Subtrahiert man auf beiden Seiten ${\displaystyle x\cdot y}$, so ergibt sich:
${\displaystyle \left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}-x\cdot y\geq 0}$.
Diese Ungleichung ist offensichtlich richtig, das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn ${\displaystyle x=y}$.

Mit der Bernoullischen Ungleichung lassen sich Potenzen nach unten abschätzen. An dieser Stelle sollen kurz die ganzzahligen Potenzen und paar Rechenregeln eingeführt werden. Die Eindeutigkeit der ${\displaystyle n}$-ten Potenz für positive ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ wurde schon im Abschnitt über natürliche Zahlen gezeigt.

Definition und Satz

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Definiert man

1.       ${\displaystyle x^{1}:=x}$,   ${\displaystyle x^{n+1}:=x^{n}\cdot x}$,
2.       für ${\displaystyle x\neq 0}$:     ${\displaystyle x^{-n}:={\frac {1}{x^{n}}}}$ und
3.       ${\displaystyle x^{0}:=1}$

so nennt man ${\displaystyle n}$ den Exponenten und ${\displaystyle x}$ die Basis der Potenz ${\displaystyle x^{n}}$.

Seien ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ und bei negativem Exponenten die zugehörige Basis von Null verschieden. Dann gelten folgende Rechenregeln:

1.       ${\displaystyle 1^{n}=1}$
2.       ${\displaystyle x^{n}\cdot x^{m}=x^{n+m}}$
3.       ${\displaystyle (x^{n})^{m}=x^{n\cdot m}}$ und
4.       ${\displaystyle (x\cdot y)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}}$.

Beweis

Die Beweise können einfach mit vollständiger Induktion über ${\displaystyle n}$ oder ${\displaystyle m}$ gezeigt werden. Eine Fallunterscheidung in ${\displaystyle >0,<0}$ und ${\displaystyle =0}$ für ${\displaystyle n}$ oder ${\displaystyle m}$ ist in einigen Fällen hilfreich.

Für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\geq -1}$, und alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt:

      ${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+n\cdot x}$.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann wenn ${\displaystyle n=1}$ oder wenn ${\displaystyle n>1}$ und ${\displaystyle x=0}$ .

Beweis

Der Beweis erfolgt über vollständige Induktion über ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n=1}$ : ist klar, hier gilt auch für alle ${\displaystyle x}$ das Gleichheitszeichen.

${\displaystyle n\rightarrow n+1}$ : ${\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}\cdot (1+x)\geq (1+n\cdot x)\cdot (1+x)}$.

Durch ausmultiplizieren ergibt sich: ${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)\cdot x+n\cdot x^{2}}$.

${\displaystyle n\geq 1}$ : Für ${\displaystyle n\geq 1}$ ist auch ${\displaystyle n\cdot x^{2}\geq 0}$ also ${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)\cdot x}$ und das zeigt die Gültigkeit der Ungleichung für ${\displaystyle n+1}$.

${\displaystyle n\geq 1}$ und ${\displaystyle x\neq 0}$ : Dann ist ${\displaystyle n\cdot x^{2}>0}$, also ${\displaystyle (1+x)^{n+1}>1+(n+1)\cdot x}$.

Das Gleichheitszeichen kann also höchstens dann auftreten, wenn ${\displaystyle x=0}$. Wenn aber ${\displaystyle x=0}$ gilt, rechnet man leicht nach, dass das Gleichheitszeichen für alle ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt.

Satz

Sei ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle y>1}$. Dann gilt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

      ${\displaystyle y^{n}>n\cdot (y-1)}$

Beweis

Setzt man ${\displaystyle 1+x=y}$ in der Bernoullischen Ungleichung, so folgt:   ${\displaystyle y^{n}\geq 1+n\cdot (y-1)>n\cdot (y-1)}$.

Satz

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und seien ${\displaystyle x_{1},......,x_{n}}$, ${\displaystyle y_{1},......,y_{n}}$ reelle Zahlen. Dann gilt:

      ${\displaystyle x_{1}\cdot y_{1}+......+x_{n}\cdot y_{n}\leq {\sqrt {x_{1}^{2}+......+x_{n}^{2}}}\cdot {\sqrt {y_{1}^{2}+......+y_{n}^{2}}}}$

 

Gleichheit gilt genau dann, wenn es reelle Zahlen ${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle k=1,...,n}$:

     ${\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0}$ und ${\displaystyle \alpha x_{k}+\beta y_{k}=0}$

Zunächst wird das Summenzeichen (mit zwei Rechenregeln) definiert und eine äquivalente Schreibweise der Schwarzschen Ungleichung, ohne Wurzeln, angegeben. Die Rechenregeln lassen sich mit vollständiger Induktion zeigen (und bleiben Ihnen zur Übung überlassen).

Definition und Satz;

Seien ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle x_{1},......,x_{n}}$, ${\displaystyle y_{1},......,y_{n}}$, ${\displaystyle \alpha }$ reelle Zahlen.

1. Eine Summe sei mit dem Summenzeichen wie folgt definiert:
   ${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}x_{1}:=x_{1}}$ sowie
   
   ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}:=\left(\sum _{k=1}^{n-1}x_{k}\right)+x_{n}}$.       ${\displaystyle k}$ nennt man Summationsindex.
   
   Dann gilt:
   
2. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})=\sum _{k=1}^{n}x_{k}+\sum _{k=1}^{n}y_{k}}$   und
   
   
3. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\alpha x_{k}=\alpha \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$.
   

Die Schwarzsche Ungleichung lässt sich jetzt wie folgt darstellen und wird auch in dieser Form bewiesen:

      ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right)}$.

Beweis

1. Hilfssatz

      ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\alpha x_{k}+\beta y_{k}\right)^{2}=0\Leftrightarrow \alpha x_{k}+\beta y_{k}=0}$   für  ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$

Beweis des Hilfssatzes

Mit den Rechenregeln für Ungleichungen lässt sich leicht zeigen, dass   ${\displaystyle \left(\alpha x_{k}+\beta y_{k}\right)^{2}\geq 0}$   für  ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$. Daraus folgt (mit vollständiger Induktion):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\alpha x_{k}+\beta y_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\alpha x_{k}+\beta y_{k}\right)^{2}+\left(\alpha x_{n}+\beta y_{n}\right)^{2}\geq 0+\left(\alpha x_{n}+\beta y_{n}\right)^{2}\geq 0}$.

Wegen       "${\displaystyle \alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\dots +\alpha _{n}^{2}=0\Leftrightarrow \alpha _{k}=0}$ für  ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ " (was sich wiederum leicht mit den Rechenregel für Ungleichungen zeigen lässt) folgt unmittelbar der Hilfssatz.

2. Mit etwas Rechenaufwand wird nun die Schwarzsche Ungleichung direkt bewiesen (zunächst noch nicht für das Gleichheitszeichen):

Seien: ${\displaystyle \mathrm {A} :=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2},\ \mathrm {B} :=\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}\ {\text{ und }}\ \Gamma :=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}}$.       Zu zeigen ist (1): ${\displaystyle \Gamma ^{2}\leq \mathrm {A} \mathrm {B} }$

Es gilt:

${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\alpha x_{k}+\beta y_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(\alpha ^{2}x_{k}^{2}+2\alpha x_{k}\beta y_{k}+\beta ^{2}y_{k}^{2}\right)}$

  ${\displaystyle =\alpha ^{2}\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}+2\alpha \beta \sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\beta ^{2}\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}=\alpha ^{2}\cdot \mathrm {A} +2\alpha \beta \cdot \Gamma +\beta ^{2}\cdot \mathrm {B} }$

Wählt man nun ${\displaystyle \alpha :=-\Gamma \!\,{\text{ und }}\beta :=\mathrm {A} }$ so erhält man

      ${\displaystyle 0\leq \Gamma ^{2}\mathrm {A} -2\Gamma \mathrm {A} \Gamma +\mathrm {A} ^{2}\mathrm {B} =-\Gamma ^{2}\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{2}\mathrm {B} }$ oder mit Ungleichung (1) ${\displaystyle \mathrm {A} \Gamma ^{2}\leq \mathrm {A} ^{2}\mathrm {B} }$

Für ${\displaystyle \mathrm {A} =0\!\,}$   muss auch   ${\displaystyle x_{k}=0\!\,}$   für   ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$   gelten. Es folgt   ${\displaystyle \Gamma =0\!\,}$   und das zeigt die Behauptung.

Mit ${\displaystyle \mathrm {A} >0\!\,}$   folgt   ${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {A} }}>0}$  , damit ergibt sich aus obiger Ungleichung (1)   ${\displaystyle \Gamma ^{2}\leq \mathrm {A} \mathrm {B} }$   und das zeigt die Behauptung.

3. Nun für das Gleichheitszeichen:

3.1. Es gelte also das Gleichheitszeichen:

Für ${\displaystyle \mathrm {A} =0\!\,}$   muss auch   ${\displaystyle x_{k}=0\!\,}$   für   ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$   gelten und die reellen Zahlen   ${\displaystyle \alpha =1{\text{ und }}\ \beta =0}$   erfüllen die die Behauptung (analog für   ${\displaystyle \mathrm {B} =0\!\,}$).

Sei ${\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} >0\!\,}$. Dann gilt das Gleichheitszeichen auch in allen oben stehenden Ungleichungen. Mit dem Hilfssatz folgt   ${\displaystyle \alpha x_{k}+\beta y_{k}=0\!\,}$   für  ${\displaystyle k=1,\dots ,n\!\,}$. Mit den oben definierten ${\displaystyle \alpha {\text{ und }}\beta \!\,}$   ist die Behauptung also erfüllt.

3.2. Es gelte ${\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0{\text{ und}}\ \alpha x_{k}+\beta y_{k}=0}$   für   ${\displaystyle k=1,\dots ,n\!\,}$:

Sei ${\displaystyle \alpha \neq 0}$   (falls ${\displaystyle \alpha =0\!\,}$ verfährt man mit ${\displaystyle \beta \!\,}$ entsprechend).

Es folgt   ${\displaystyle x_{k}=-{\frac {\beta }{\alpha }}y_{k},\ \mathrm {A} ={\frac {\beta ^{2}}{\alpha ^{2}}}\mathrm {B} ,\ \Gamma =-{\frac {\beta }{\alpha }}\mathrm {B} }$ , also ${\displaystyle \Gamma ^{2}=\mathrm {A} \mathrm {B} \!\,}$ und das zeigt die Behauptung.

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