Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte: Das charakteristische Polynom

Das charakteristische Polynom ist ein spezielles Polynom, durch welches sich bestimmte Aussagen über lineare Abbildungen oder quadratische Matrizen machen lassen. Außerdem hängt es sehr eng mit den Gebieten der Eigenwerte und Eigenvektoren zusammen, welche sich (oftmals) nur damit berechnen lassen.

Zwei n×n-Matrizen A und B heissen ähnlich, wenn es eine invertierbare n×n-Matrix P gibt, so, dass

${\displaystyle B=P^{-1}AP}$.

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dieselbe Determinante.

Es sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \scriptstyle n\times n}$-Matrix mit Elemente aus einem Körper ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }$. Dann wird das charakteristisches Polynom ${\displaystyle p_{A}}$ von ${\displaystyle A}$ definiert durch:

${\displaystyle \!\,p_{A}(\lambda ):=\det(A-\lambda \mathrm {I} _{n})}$.

Darin ist ${\displaystyle \mathrm {I} _{n}}$ die n-dimensionalen Einheitsmatrix.

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dasselbe charakteristisches Polynom.

Die repräsentierenden Matrizen eines Endomorphismus auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, sind ähnliche n×n-Matrizen.

Die Determinante det(φ) eines Endomorphismus φ auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, ist die Determinante einer seiner repräsentierenden Matrizen.

Es seien ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum endlicher Dimension, und ${\displaystyle \varphi }$ ein Endomorphismus auf ${\displaystyle V}$. Dann wird das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{\varphi }}$ von ${\displaystyle \varphi }$ definiert durch:

${\displaystyle p_{\varphi }(\lambda ):=\det(\varphi -\lambda \cdot \mathrm {id} )}$

1. Zwei Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, wenn sie ähnlich sind.
2. Wenn das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{A}}$ in Linearfaktoren zerfällt, dann nennt man ${\displaystyle {\text{A}}}$ zerfallend über ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

Es sei

${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}{\text{(}}\mathbb {K} {\text{)}}{\text{, A :=}}\left({\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right)}$.

Dann ist das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{A}}$ von ${\displaystyle A}$ gegeben durch:

${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda E)=\det(\left({\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{ll}1&0\\0&1\end{array}}\right))=}$

${\displaystyle \det(\left({\begin{array}{ll}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{array}}\right))=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +ad-bc.}$

Anmerkung:
Löst man die Gleichung ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=0}$ nun nach ${\displaystyle \lambda }$ auf, so hat man die Eigenwerte zur Matrix ${\displaystyle {\text{A}}}$ gefunden.

Es sei

${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}{\text{(}}\mathbb {K} {\text{), B :=}}\left({\begin{array}{ll}a&0\\0&b\end{array}}\right)}$.

Dann ist das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{B}}$ von ${\displaystyle {\text{B}}}$:

${\displaystyle p_{B}{\text{ = }}\det(B-\lambda E){\text{ = }}\det(\left({\begin{array}{ll}a&0\\0&b\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{ll}1&0\\0&1\end{array}}\right)){\text{ = }}}$
${\displaystyle det(\left({\begin{array}{ll}a-\lambda &0\\0&b-\lambda \end{array}}\right)){\text{ = }}(a-\lambda )(b-\lambda )}$

Das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{B}}$ ist also ${\displaystyle (a-\lambda )(b-\lambda )}$.
${\displaystyle B}$ ist zerfallend und aus den Linearfaktoren von ${\displaystyle p_{B}}$ kann man unmittelbar erkennen, dass die w:Eigenwerte ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind.

Es sei

${\displaystyle C\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}{\text{(}}\mathbb {C} {\text{), }}C{\text{ := }}\left({\begin{array}{lll}-1&1&1\\0&1&3\\1&0&2\end{array}}\right)}$.

Dann ist das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{C}}$ von ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle p_{C}=\det(C-\lambda E)=det(\left({\begin{array}{lll}-1&1&1\\0&1&3\\1&0&2\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{lll}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right))=}$
${\displaystyle \det(\left({\begin{array}{lll}(-\lambda -1)&1&1\\0&(1-\lambda )&3\\1&0&(2-\lambda )\end{array}}\right))=-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+2\lambda }$

Das charakteristische Polynom ${\displaystyle p_{C}}$ ist also ${\displaystyle -\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+2\lambda }$.

-- Domino 18:08, 6. Apr. 2008 (CEST)