Mathematik: Topologie: Konstruktionen

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Sei ${\displaystyle \Lambda }$ eine beliebige Indexmenge und ${\displaystyle (X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda }),\lambda \in \Lambda ,}$ eine Familie paarweise disjunkter topologischer Räume. Die topologische Summe ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ ist die Vereinigung ${\displaystyle X=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}$ mit der folgenden Topologie ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$: Eine Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ gehört genau dann zu ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, wenn für jedes ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ der Durchschnitt ${\displaystyle U\cap X_{\lambda }}$ zu ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda }}$ gehört.

Falls die Mengen ${\displaystyle X_{\lambda }}$ nicht disjunkt sind, kann man sie aber dadurch disjunkt machen. dass man einfach den Index mit "dazu schreibt": Aus der Menge ${\displaystyle X_{\lambda }}$ wird dann die Menge ${\displaystyle X_{\lambda }\times \{\lambda \}}$, die aus den Punkten ${\displaystyle (x_{\lambda },\lambda )}$ besteht. Die Topologie auf ${\displaystyle X_{\lambda }\times \{\lambda \}}$ besteht aus den Mengen ${\displaystyle O\times \{\lambda \}=\{(x,\lambda )\in X_{\lambda }\times \{\lambda \}|x\in O\}}$, für die ${\displaystyle O}$ offen in ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ist.

Sei wieder ${\displaystyle \Lambda }$ eine beliebige Indexmenge und ${\displaystyle (X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda }),\lambda \in \Lambda ,}$ eine Familie topologischer Räume. Das Mengenprodukt ${\displaystyle X=\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}$ der ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ist diejenige Menge, deren Punkte ${\displaystyle x}$ aus Familien von Punkten ${\displaystyle \{x_{\lambda }\in X_{\lambda }\},\lambda \in \Lambda }$ bestehen. Ein einzelner Punkt ${\displaystyle x_{\nu }}$ aus der Familie ${\displaystyle x=\{x_{\lambda }\}}$ heißt ${\displaystyle \nu }$-te Koordinate von ${\displaystyle x}$. Im Fall einer endlichen Indexmenge ${\displaystyle \Lambda =\{1,2,\dots ,n\}}$ ist das Produkt gegeben durch die ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ und die Koordinaten sind die einzelnen ${\displaystyle x_{i}}$. Für jedes ${\displaystyle \nu }$ ist die ${\displaystyle \nu }$-te Projektion ${\displaystyle p_{\nu }:X\to X_{\nu }}$ gegeben durch ${\displaystyle p_{\nu }(x):=x_{\nu }}$, der Punkt ${\displaystyle x}$ wird also auf die ${\displaystyle \nu }$-te Koordinate abgebildet. Die Produkttopologie ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ auf ${\displaystyle X}$ ist gegeben durch die Basismengen der Form ${\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }p_{\lambda }^{-1}(O_{\lambda })}$ wobei ${\displaystyle O_{\lambda }}$ offen in ${\displaystyle X_{\lambda }}$ und ${\displaystyle O_{\lambda }\not =X_{\lambda }}$ für nur endlich viele ${\displaystyle \lambda }$ ist. Der Raum ${\displaystyle X=\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}$ versehen mit der Produkttopologie ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ist das topologische Produkt der Familie ${\displaystyle (X_{\lambda },O_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$.

Im Fall ${\displaystyle n=2}$ bilden die Mengen ${\displaystyle O_{1}\times O_{2}}$ die Basis des Produktes.

Die Produkttopologie ist die Initialtopologie auf ${\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}$ bezüglich der Projektionen.

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ ein topologischer Raum. Weiter sei ~ eine Äquivalenzrelation R auf ${\displaystyle X}$. Das heißt

1. für je zwei Punkte ${\displaystyle x,y\in X}$ ist entweder ${\displaystyle x}$ ~ ${\displaystyle y}$ oder ${\displaystyle x\not \sim y}$,
2. aus ${\displaystyle x}$ ~ ${\displaystyle y}$ folgt ${\displaystyle y}$ ~ ${\displaystyle x}$,
3. aus ${\displaystyle x}$ ~ ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle y}$ ~ ${\displaystyle z}$ folgt ${\displaystyle x}$ ~ ${\displaystyle z}$.

Für ${\displaystyle x\in X}$ ist die Äquivalenzklasse ${\displaystyle [x]}$ definiert als die Menge aller ${\displaystyle y\in X}$ mit ${\displaystyle y}$ ~ ${\displaystyle x}$.

Man kann nun die Menge ${\displaystyle X/R}$ als die Menge aller Äquivalenzklassen definieren. Man hat eine kanonische Projektion ${\displaystyle \pi :X\to X/R,\pi (x)=[x]}$. Die Quotiententopologie ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{R}}$ besteht aus den Mengen ${\displaystyle O\subseteq X/R}$, für die das Urbild ${\displaystyle \pi ^{-1}(O)}$ offen in ${\displaystyle X}$ ist. Die Menge ${\displaystyle X/R}$ versehen mit der Quotiententopologie heißt Quotientenraum oder auch Faktorraum von ${\displaystyle X}$ bezüglich der Äquivalenzrelation ${\displaystyle R}$.

Die Quotiententopologie ist die Identifizierungs- oder auch Finaltopologie auf ${\displaystyle X/R}$ bezüglich der Projektion.

Beispiel: Auf dem Intervall I = [a,b] sei die Äquivalenzrelation R gegeben durch a ~ b, d.h. nur die Endpunkte sind äquivalent. Der Quotientenraum I/R ist dann die 1-Sphäre ${\displaystyle S^{1}}$. Bildlich ausgedrückt entsteht aus dem Intervall durch Verkleben der Endpunkte ein Kreis.

Mit Hilfe der Quotiententopologie kann man ähnlich dem obigen Beispiel ein Verfahren angeben, wie man topologische Räume zusammenkleben kann. Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ disjunkte topologische Räume und ${\displaystyle f:A\to Y}$ eine Abbildung von einer abgeschlossenen Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$, so klebt man ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ an der Teilmenge ${\displaystyle A}$ zusammen, indem man die Punkte von ${\displaystyle x\in A}$ mit den Bildpunkten ${\displaystyle f(x)\in f(A)}$ identifiziert. Dieses Verfahren wird unter Anderem zur Konstruktion von speziellen Räumen benutzt, die in der algebraischen Topologie untersucht werden. Doch zunächst einmal formulieren wir die genaue Definition.

Definition: Zusammenkleben von Räumen

Seien ${\displaystyle X,Y}$ disjunkte topologische Räume, ${\displaystyle A\subseteq X}$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle f:A\to Y}$ eine Abbildung. Auf der topologischen Summe ${\displaystyle X\cup Y}$ sei die Äquivalenzrelation R gegeben durch ${\displaystyle v\sim w={\begin{cases}v=w,&v,w\in X\cup Y\\f(v)=f(w),&v,w\in A\\v=f(w),&v\in Y,w\in A\\w=f(v),&v\in A,w\in Y\end{cases}}}$ Der durch Zusammenkleben von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ mittels ${\displaystyle f}$ entstandene Raum, geschrieben ${\displaystyle Y\cup _{f}X}$, ist dann der Quotientenraum ${\displaystyle {\frac {X\cup Y}{R}}}$.

Kegel:

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle I=[0,1]}$ das Einheitsintervall und ${\displaystyle \{v\}}$ ein topologischer Raum mit nur einem Punkt. Sei weiter die Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X\times I}$ des Produktes ${\displaystyle X\times I}$ gegeben durch ${\displaystyle X\times \{1\}}$ und die Abbildung ${\displaystyle f:A\to \{v\}}$ durch ${\displaystyle f(x)=v}$ für ${\displaystyle x\in A}$. Durch das Zusammenkleben von ${\displaystyle X\times I}$ mit ${\displaystyle \{v\}}$ vermöge ${\displaystyle f}$ entsteht der (topologische) Kegel über ${\displaystyle X}$ mit Spitze ${\displaystyle v}$.

Die ganze Teilmenge ${\displaystyle A=X\times 1}$ wird auf den Punkt ${\displaystyle v}$ geklebt.

Einhängung:

Sei wieder ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle I=[0,1]}$ das Einheitsintervall und ${\displaystyle \{v,w\}}$ der topologische Raum mit zwei Punkten und der diskreten Topologie. Die Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X\times I}$ des Produktes ${\displaystyle X\times I}$ sei gegeben durch ${\displaystyle X\times \{1\}\cup X\times \{0\}}$. Die Abbildung ${\displaystyle f:A\to \{v,w\}}$ sei definiert durch ${\displaystyle f(x)=v}$ für ${\displaystyle x\in X\times \{1\}}$ und ${\displaystyle f(x)=w}$ für ${\displaystyle x\in X\times \{0\}}$. Durch das Zusammenkleben von ${\displaystyle X\times I}$ mit ${\displaystyle \{v,w\}}$ vermöge ${\displaystyle f}$ entsteht die Einhängung ${\displaystyle S(X)}$von ${\displaystyle X}$.

Die Einhängung ist sozusagen ein doppelter Kegel, der "obere" Rand ${\displaystyle X\times \{1\}}$ wird auf den Punkt ${\displaystyle v}$, und der "untere" Rand ${\displaystyle X\times \{0\}}$ auf den Punkt ${\displaystyle w}$ geklebt.

Die folgenden Räume werden jeweils aus einem Quadrat durch Verkleben der Seiten zusammengebastelt. Dazu sei für die folgenden Beispiele das Quadrat durch den Raum ${\displaystyle Q=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -1\leq x\leq 1\ {\text{und}}-1\leq y\leq 1\}}$ gegeben.

Möbiusband:

Dieser Raum entsteht, indem man zwei gegenüberliegende Kanten eines Quadrats "verkehrt herum" zusammenklebt.

Die Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq Q}$ sei gegeben durch ${\displaystyle \{(x,y)\in Q\mid y^{2}=1\}}$, also die "obere" und die "untere" Kante des Quadrats. Weiter sei ${\displaystyle I=[-1,1]}$ das Intervall von -1 bis 1, und die Abbildung ${\displaystyle f:A\to I}$ sei gegeben durch

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x,&y=-1\\-x,&y=1\end{cases}}}$.

Der durch Verkleben vermöge ${\displaystyle f}$ entstandene Raum ${\displaystyle I\cup _{f}Q}$ ist das Möbiusband.

In den nächsten Beispielen ist die Teilmenge ${\displaystyle \partial Q\subseteq Q}$, der Rand des Quadrates, gegeben durch ${\displaystyle \{(x,y)\in Q\mid x^{2}=1\ {\text{oder}}\ y^{2}=1\}}$.

Sphäre:

Die 2-Sphäre erhält man durch Verkleben des ganzen Randes des Quadrats auf einen Punkt.

Sei ${\displaystyle Y=\{v\}}$ mit der diskreten Topologie. Die Abbildung ${\displaystyle f:\partial Q\to \{v\}}$ sei gegeben durch ${\displaystyle f(x,y)=v}$ für alle ${\displaystyle x\in \partial Q}$. Der durch Verkleben vermöge ${\displaystyle f}$ entstandene Raum ${\displaystyle \{v\}\cup _{f}Q}$ ist homöomorph zur 2-Sphäre ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$.

Einen Homöomorphismus kann man wie folgt konstruieren. Zunächst ist das Quadrat homöomorph zur Kreisscheibe ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{2}}$ vermöge der Abbildung

${\displaystyle g({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}):={\begin{cases}{\frac {\max(|x|,|y|)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},&(x,y)\neq (0,0)\\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$.

Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

${\displaystyle g^{-1}({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}):={\begin{cases}{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\max(|x|,|y|)}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},&(x,y)\neq (0,0)\\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$.

Anstelle des Quadrates kann man also genauso gut die Kreisscheibe ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{2}}$ vermöge der Abbildung ${\displaystyle f:\partial {\mathcal {D}}^{2}\to \{v\}}$ zu dem Raum ${\displaystyle \{v\}\cup _{f}{\mathcal {D}}^{2}}$ zusammenkleben. Wir betrachten nun die Scheibe ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{2}}$ in Polarkoordinaten. Dazu sei für jeden Punkt des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle r}$ der Abstand vom Nullpunkt und ${\displaystyle \phi }$ der Winkel von ${\displaystyle r}$ gegenüber der ${\displaystyle x}$-Achse. Dann läßt sich jeder Punkt des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ in den Koordinaten ${\displaystyle (r,\phi )}$ darstellen mit ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$. Die Punkte der Scheibe ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{2}}$ sind dann gegeben durch die Punkte ${\displaystyle (r,\phi )}$ mit ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ und ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$.

Für einen festen Winkel ${\displaystyle \phi }$ kann man den Radius bijektiv auf einen Halbkreis abbilden durch ${\displaystyle (r,\phi )\mapsto (\cos(\pi (r-1/2)),\sin(\pi (r-1/2)))}$, wobei ${\displaystyle (0,\phi )\mapsto (0,-1)}$ und ${\displaystyle (1,\phi )\mapsto (0,1)}$. Setzt man dies für alle Winkel zu einer Abbildung in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ zusammen, so erhält man durch

${\displaystyle h({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}):={\begin{pmatrix}\cos \phi \ \cos(\pi (r-1/2))\\\sin \phi \ \cos(\pi (r-1/2))\\\sin(\pi (r-1/2))\end{pmatrix}}}$

eine stetige Abbildung ${\displaystyle h:{\mathcal {D}}^{2}\to {\mathcal {S}}^{2}}$, die den Mittelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ von ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{2}}$ auf den Südpol ${\displaystyle (0,0,-1)}$ und den Rand ${\displaystyle \partial D^{2}=\{(r,\phi )\mid r=1\}}$ auf den Nordpol ${\displaystyle (0,0,1)}$ abbildet. Dabei ist ${\displaystyle h}$ nach Konstruktion bijektiv auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{2}-\partial {\mathcal {D}}^{2}}$. Der Abbildung ${\displaystyle h:{\mathcal {D}}^{2}\to {\mathcal {S}}^{2}}$ entspricht nun eine Abbildung ${\displaystyle h':\{v\}\cup _{f}{\mathcal {D}}^{2}\to {\mathcal {S}}^{2}}$ mit ${\displaystyle h'(v)=(0,0,1)}$ und ${\displaystyle h'([z])=h(z)}$ sonst. Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn für ${\displaystyle z\in ({\mathcal {D}}^{2}-\partial {\mathcal {D}}^{2})}$ besteht die Äquivalenzklasse ${\displaystyle [z]}$ nur aus dem Punkt ${\displaystyle z}$, und für ${\displaystyle z\in \partial {\mathcal {D}}^{2}}$ besteht ${\displaystyle [z]}$ zwar aus der Menge ${\displaystyle \partial {\mathcal {D}}^{2}\cup \{v\}}$, aber diese Menge wird auf den Nordpol ${\displaystyle (0,0,1)}$ abgebildet. Da ${\displaystyle h}$ auf dem Inneren der Scheibe bijektiv ist, folgt, daß ${\displaystyle h'}$ bijektiv ist. Die Stetigkeit von ${\displaystyle h'}$ folgt aus der Definition der Quotiententopologie. Die Existenz einer stetigen Umkehrabbildung sei dem Leser als Übung überlassen. ${\displaystyle \ \surd }$

In den nächsten zwei Beispielen wird der Rand des Quadrates auf die Figur 8, das sind zwei an einem Punkt zusammenhängende Kreise, geklebt. Formal ist die Figur gegeben durch ${\displaystyle Y=\{(\cos(\pi (t+1/2)),-1-\sin(\pi (t+1/2))\mid t\in [-1,1]\}\ \cup \ \{(\cos(\pi (t+1/2)),1+\sin(\pi (t+1/2))\mid t\in [-1,1]\}}$.

Torus:

Die Ringfläche entsteht aus dem Quadrat durch Zusammenkleben der gegenüberliegenden Seiten.

Sei ${\displaystyle Y}$ die Figur 8 wie oben beschrieben und ${\displaystyle f:\partial Q\to Y}$ gegeben durch

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}(\cos(\pi (x+1/2)),-1-\sin(\pi (x+1/2))),&y=-1,-1\leq x\leq 1\\(\cos(\pi (x+1/2)),-1-\sin(\pi (x+1/2))),&y=1,-1\leq x\leq 1\\(\cos(\pi (y+1/2)),1+\sin(\pi (y+1/2))),&x=-1,-1\leq y\leq 1\\(\cos(\pi (y+1/2)),1+\sin(\pi (y+1/2))),&x=1,-1\leq y\leq 1\end{cases}}}$.

Dann erhält man den Torus ${\displaystyle T}$ durch Verkleben von ${\displaystyle \partial Q}$ und ${\displaystyle Y}$ vermöge ${\displaystyle f}$, also ${\displaystyle T=Y\cup _{f}Q}$.

Kleinsche Flasche:

Sei wieder ${\displaystyle Y}$ die Figur 8 und ${\displaystyle f:\partial Q\to Y}$ gegeben durch

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}(\cos(\pi (-x+1/2)),-1-\sin(\pi (-x+1/2))),&y=-1,-1\leq x\leq 1\\(\cos(\pi (x+1/2)),-1-\sin(\pi (x+1/2))),&y=1,-1\leq x\leq 1\\(\cos(\pi (y+1/2)),1+\sin(\pi (y+1/2))),&x=-1,-1\leq y\leq 1\\(\cos(\pi (y+1/2)),1+\sin(\pi (y+1/2))),&x=1,-1\leq y\leq 1\end{cases}}}$.

Dann erhält man die Kleinsche Flasche ${\displaystyle Y\cup _{f}Q}$ durch Verkleben der beiden senkrechten Seiten von ${\displaystyle \partial Q}$ und verdrehtes Verkleben der waagerechten Seiten an die Figur 8.

Projektive Ebene:

Der Vollständigkeit halber sei noch die projektive Ebene erwähnt, die man durch verdrehtes Verkleben der jeweils gegenüberliegenden Seiten von ${\displaystyle \partial Q}$ erhält.

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