Mathematik: Topologie: Stetigkeit: Charakterisierung Stetigkeit

Zunächst soll bewiesen werden, dass Urbilder offener Mengen offen sind, wenn die Abbildung ${\displaystyle f:X\to Y}$ stetig ist.

Sei also ${\displaystyle f}$ stetig und ${\displaystyle V\subseteq Y}$ eine offene Menge in ${\displaystyle Y}$. Für jeden Punkt ${\displaystyle x\in f^{-1}(V)}$ ist ${\displaystyle f(x)\in V}$ und ${\displaystyle V}$ eine Umgebung von ${\displaystyle f(x)}$. Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ existiert eine Umgebung ${\displaystyle U_{x}}$ von ${\displaystyle x}$, die in ${\displaystyle V}$ abgebildet wird. Es ist also ${\displaystyle f(U_{x})\subseteq V}$ und damit auch ${\displaystyle U_{x}\subseteq f^{-1}(V)}$. Nach Definition der Umgebung gibt es nun eine offene Menge ${\displaystyle O_{x}}$ mit ${\displaystyle x\in O_{x}\subseteq U_{x}\subseteq f^{-1}(V)}$. Daher gilt ${\displaystyle f^{-1}(V)=\bigcup _{x\in f^{-1}(V)}O_{x}}$. Das Urbild ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ist also eine Vereinigung offener Mengen und damit selbst offen.  ${\displaystyle \surd }$

Sei nun ${\displaystyle f:X\to Y}$ eine Abbildung, bei der die Urbilder offener Mengen offen sind. Es soll nun gezeigt werden, dass dann die Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind.

Sei also ${\displaystyle A\subseteq Y}$ eine abgeschlossene Menge in ${\displaystyle Y}$. Das Komplement ${\displaystyle Y-A}$ ist nach Definition offen in ${\displaystyle Y}$. Nach Voraussetzung ist dann ${\displaystyle f^{-1}(Y-A)}$ offen und das Komplement von ${\displaystyle f^{-1}(Y-A)}$ abgeschlossen in ${\displaystyle X}$. Dieses Komplement ist aber gerade ${\displaystyle f^{-1}(A)}$, weil jeder Punkt ${\displaystyle x\in X}$ entweder in ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ oder in ${\displaystyle f^{-1}(Y-A)}$ liegt. Damit ist also ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ abgeschlossen.  ${\displaystyle \surd }$

Nehmen wir zu guter Letzt an, ${\displaystyle f}$ habe die Eigenschaft, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Es soll jetzt die Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ gezeigt werden.

Dazu sei ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle V}$ eine Umgebung von ${\displaystyle f(x)}$. Als Umgebung von ${\displaystyle f(x)}$ enthält ${\displaystyle V}$ eine offene Menge ${\displaystyle O}$ mit ${\displaystyle f(x)\in O\subseteq V}$. Das Komplement ${\displaystyle Y-O}$ ist dann abgeschlossen in ${\displaystyle Y}$, und nach Voraussetzung ist ${\displaystyle f^{-1}(Y-O)}$ abgeschlossen in ${\displaystyle X}$. Nun ist wiederum ${\displaystyle f^{-1}(O)}$ das Komplement von ${\displaystyle f^{-1}(Y-O)}$ und damit offen in ${\displaystyle X}$. Also ist ${\displaystyle f^{-1}(O)}$ eine Umgebung von ${\displaystyle x}$, die in ${\displaystyle V}$ abgebildet wird, denn es gilt ${\displaystyle f(x)\in f(f^{-1}(O))\subseteq O\subseteq V}$. ${\displaystyle f}$ ist also stetig in ${\displaystyle x}$. Da dies für jedes ${\displaystyle x\in X}$ gilt, ist ${\displaystyle f}$ stetig.  ${\displaystyle \surd }$

Aus der Stetigkeit einer Abbildung ${\displaystyle f}$ folgt also, dass Urbilder offener Mengen offen sind. Daraus folgt, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, und dies impliziert wiederum die Stetigkeit von ${\displaystyle f}$.

Alle drei Eigenschaften sind daher äquivalent.