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Wahrscheinlichkeit für weniger als 6 Richtige und Superzahl

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist wie folgt definiert:

${\displaystyle P(A)=}$ Anzahl aller Möglichkeiten, die zu A gehören / Anzahl aller Möglichkeiten des Zufallsversuchs

Beim deutschen Lotto werden aus 49 Zahlen 6 angekreuzt. Die Anzahl der Möglichkeiten dieses zu tun ist:

${\displaystyle {49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\cdot 43!}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=13.983.816}$

Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 angekreuzten Zahlen genau 6 zu ziehen ist:

${\displaystyle {6 \choose 6}={\frac {6!}{6!\cdot 0!}}=1}$

Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll, lautet:

A: sechs Richtige im Lotto

Zu A gehört genau eine Möglichkeit von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist ${\displaystyle P(A)={\frac {1}{13.983.816}}\approx 0,000.000.072}$

die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 6 Richtige zu haben.

Als neues Ereignis definieren wir B: 4 Richtige im Lotto.

Das bedeutet, von den 6 angekreuzten Zahlen wurden 4 gezogen, 2 der gezogenen Zahlen gehören zu den 49 – 6 = 43 Nicht-angekreuten Zahlen.

Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 angekreuzten Zahlen 4 zu ziehen ist:

${\displaystyle {6 \choose 4}={\frac {6!}{4!\cdot 2!}}={\frac {6\cdot 5}{2\cdot 1}}={\frac {30}{2}}=15}$

Die Anzahl der Möglichkeiten von den 43 Nicht-angekreuzten 2 zu ziehen ist:

${\displaystyle {43 \choose 2}={\frac {43!}{2!\cdot 41!}}={\frac {43\cdot 42}{2\cdot 1}}={\frac {1806}{2}}=903}$

Damit ist die Anzahl der Möglichkeiten für 4 Richtige im Lotto:

${\displaystyle {6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2}=15\cdot 903=13.545}$

Zu B gehören also insgesamt 13.545 Möglichkeiten von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist ${\displaystyle P(B)={\frac {13.545}{13.983.816}}\approx 0,00097}$ die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 4 Richtige zu haben.

Folgendes Schema soll noch mal die Notwendigkeit der Multiplikation von 15 mit 903 veranschaulichen:

Als neues Ereignis definieren wir C: 5 Richtige mit Superzahl.

Nun muss noch die Superzahl, die Werte zwischen 0 und 9 annehmen kann, berücksichtigt werden.

Die Anzahl der Möglichkeiten erhöht sich damit um den Faktor ${\displaystyle {10 \choose 1}=10}$.

Anzahl der Möglichkeiten für:

5 Gewinnzahlen angekreuzt (5 aus 6) ${\displaystyle {6 \choose 5}=6}$

1 Superzahl angekreuzt (1 aus 1) ${\displaystyle {1 \choose 1}=1}$

1 Nicht-Gewinnzahlen angekreuzt (1 aus 43) ${\displaystyle {43 \choose 1}=43}$

${\displaystyle P(C)={\frac {{6 \choose 5}\cdot {1 \choose 1}\cdot {43 \choose 1}}{{49 \choose 6}\cdot {10 \choose 1}}}={\frac {6\cdot 1\cdot 43}{13.983.816\cdot 10}}={\frac {258}{139.838.160}}\approx 0,000.001.84}$

In Deutschland betreibt der Deutsche Lotto- und Totoblock Zusammenschluss der Landes-Lotteriegesellschaften das Lottospiel. Man kann zusätzlich am Spiel Super 6 und Spiel 77 teilnehmen. Zu den 6 Zahlen wird zudem noch eine Superzahl gezogen.

Die Superzahl ergibt sich aus den Zahlen 0 bis 9, die auf dem Lottoschein bereits vorgemerkt ist. Das ist sozusagen ein weiteres Los - allerdings mit der Auswirkung, dass diese Chance um das Zehnfache niedriger wird. Die Superzahl wird nach der Ziehung der Lottozahlen aus einer Extratrommel, die 10 Kugeln mit den Nummern 0 bis 9 enthält, gezogen. Sie erhöht bei allen Gewinnklassen den Gewinn um eine Stufe. Außerdem gibt es bei 2 Richtigen mit Superzahl einen festen Gewinn von 5,00 €.

Gewinnklasse	Anzahl der Richtigen	Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp
Klasse 1	6 mit Superzahl	${\displaystyle {\frac {6 \choose 6}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {1}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,000\,000\,007\,15}$
Klasse 2	6 ohne Superzahl	${\displaystyle {\frac {6 \choose 6}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {1}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,000\,000\,064\,4}$
Klasse 3	5 mit Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 5}\cdot {43 \choose 1}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {258}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,000\,001\,84}$
Klasse 4	5 ohne Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 5}\cdot {43 \choose 1}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {258}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,000\,016\,6}$
Klasse 5	4 mit Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {13.545}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,000\,096\,9}$
Klasse 6	4 ohne Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {13.545}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,000\,872}$
Klasse 7	3 mit Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 3}\cdot {43 \choose 3}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {246.820}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,001\,77}$
Klasse 8	3 ohne Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 3}\cdot {43 \choose 3}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {246.820}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,015\,9}$
Klasse 9	2 mit Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 2}\cdot {43 \choose 4}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {1.851.150}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,013\,2}$
	2 ohne Superzahl	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 2}\cdot {43 \choose 4}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {1.851.150}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,119}$
	1	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 1}\cdot {43 \choose 5}}{49 \choose 6}}={\frac {5.775.588}{13.983.816}}\approx 0,413}$
	0	${\displaystyle {\frac {{6 \choose 0}\cdot {43 \choose 6}}{49 \choose 6}}={\frac {6.096.454}{13.983.816}}\approx 0,436}$

Weitere Informationen - Eine Einführung in die Stochastik