Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Spezielle Matrizen

• Eine ${\displaystyle (m\times 1)}$-Matrix ist ein Spaltenvektor.
• Eine ${\displaystyle (1\times n)}$-Matrix ein Zeilenvektor.

${\displaystyle {\underline {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\5\end{pmatrix}},}$    ${\displaystyle {\underline {y}}={\begin{pmatrix}2&5&-2&6\end{pmatrix}}.}$

Vektoren werden i.a. kleinbuchstabig bezeichnet und häufig, vor allem im physikalischen Kontext, mit einem Pfeil hervorgehoben. Meistens geht man bei einem Vektor von einem Spaltenvektor aus und betrachtet den Zeilenvektor als transponierten Spaltenvektor, z.B.

${\displaystyle {\underline {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}};}$    ${\displaystyle {\underline {a}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}.}$

Ein Skalar ist eine Matrix mit nur einem Element:

${\displaystyle [a]=a}$.

Ein Skalar kann wie eine reelle Zahl ${\displaystyle a}$ behandelt werden.

Die Transponierte der Matrix

${\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times n}}$

ist die Matrix

${\displaystyle A^{T}=(a_{ji})_{n\times m}}$.

Die ${\displaystyle i}$te Zeile von ${\displaystyle {\underline {A}}}$ wird die ${\displaystyle i}$te Spalte von ${\displaystyle {\underline {A}}^{T}}$.

Es gilt :${\displaystyle {\underline {A}}^{TT}={\underline {A}}}$.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{pmatrix}}\rightarrow {\underline {A}}^{T}={\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&-2&4\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle {\underline {A}}}$ hat ${\displaystyle n}$ Zeilen und ${\displaystyle n}$ Spalten.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\-0,5&1&2\end{pmatrix}}}$.

Diese Matrix ist von der Ordnung ${\displaystyle n\times n}$ und besitzt nur auf der Hauptdiagonalen Elemente ungleich Null.

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}a_{ii}&{\text{für }}i=j,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1{,}67&0\\0&0&100\end{pmatrix}}}$.

Ein Spezialfall der Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix${\displaystyle {\underline {I}}}$, die auf der Hauptdiagonalen nur Einsen hat.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {I}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

Die Diagonalmatrix ist die Entsprechung der Eins im Matrizenkalkül: ${\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {I}}={\underline {A}}}$.

Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind 0 und die untersten Zeilen können auch Nullzeilen sein.

Beispiele:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&0&1&3\\0&1&2&0&-2\\0&0&1&3&1\end{pmatrix}},}$    ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&2\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

Obere Dreiecksmatrix ${\displaystyle {\underline {A}}_{n\times n}}$: Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind ${\displaystyle 0}$. ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ist ein Spezialfall der Trapezmatrix.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}}$.

Untere Dreiecksmatrix: Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind 0.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\-0,5&1&2\end{pmatrix}}}$.

Ein Spezialfall der Dreiecksmatrix ist die Diagonalmatrix

Die ${\displaystyle i}$te Zeile ist gleich der ${\displaystyle j}$ten Spalte. Es gilt

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$

bzw.

${\displaystyle {\underline {A}}={\underline {A}}^{T}}$.

Die Elemente der Matrix spiegeln sich bezüglich der Hauptdiagonalen.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\{\sqrt {2}}&-2&1\\3&1&2\end{pmatrix}}.}$

Die Nullmatrix enthält nur Nullen. Sie entspricht der Null im Matrizenkalkül:

${\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {O}}={\underline {O}}}$.

Allerdings kann die Nullmatrix auf der linken Seite der obigen Gleichung eine andere Dimension haben als die auf der rechten Seite.

Beispiel:

${\displaystyle {\underline {O}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Als ${\displaystyle {\underline {A}}^{-1}}$ bezeichnet man die zur (${\displaystyle n\times n}$)-Matrix ${\displaystyle {\underline {A}}}$ inverse Matrix, wobei ${\displaystyle {\underline {A}}}$ invertierbar sein muss. Es gilt dann

${\displaystyle {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\underline {I}}}$.

Im Matrizenkalkül bezeichnet also ${\displaystyle {\underline {A}}^{-1}}$ das zu ${\displaystyle {\underline {A}}}$ inverse Element.

Beispiel:

Die Inverse zu ${\displaystyle {\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&-1&1\\0&1&1&0\\1&-1&0&0\end{pmatrix}}}$

ist

${\displaystyle {\underline {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0&-{\frac {1}{2}}\\1&0&-1&-1\end{pmatrix}}.}$

Die Probe ergibt ${\displaystyle {\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}={\underline {I}}}$.

Näheres folgt demnächst im Kapitel Inverse einer Matrix