Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Geometrie Beweise

Mit Hilfe der Figur beweisen Sie den Satz von Pythagoras.

Mit Hilfe der Figur und von Formeln der Geometrie zeigen Sie, dass
${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\ a\ b+b^{2}}$

${\displaystyle \ \ \textstyle A_{gQ}}$ ist die Fläche des großen Quadrats.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{1}}$, des Quadrats oben links, ${\displaystyle \ \ \textstyle A_{2}}$ des Rechtecks oben rechts.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{3}}$, des Rechtecks unten links, ${\displaystyle \ \ \textstyle A_{4}}$ des Quadrats unten rechts.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{gQ}=(a+b)^{2},\quad A_{1}=a^{2},\quad A_{2}=A_{3}=a\cdot b,\quad A_{4}=b^{2}}$
Das Ganze (das große Quadrat) ist die Summe seiner Teilen.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{gQ}=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}$
${\displaystyle \ \ \textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+a\ b+b\ a+b^{2}}$
${\displaystyle \ \ \textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\ a\ b+b^{2}}$

Mit Hilfe der Figur und von Formeln der Geometrie zeigen Sie, dass
${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2\ a\ b+b^{2}}$

${\displaystyle \ \ \textstyle A_{gQ}}$ ist die Fläche des großen Quadrats.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{1}}$, des Quadrats oben links, ${\displaystyle \ \ \textstyle A_{2}}$ des Rechtecks oben rechts.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{3}}$, des Rechtecks unten links, ${\displaystyle \ \ \textstyle A_{4}}$ des Quadrats unten rechts.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{gQ}=a^{2},\quad A_{1}=(a-b)^{2},\quad A_{2}=A_{3}=(a-b)\cdot b,\quad A_{4}=b^{2}}$
Das Ganze (das große Quadrat) ist die Summe seiner Teilen.
${\displaystyle \ \ \textstyle A_{gQ}=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}\quad |}$
${\displaystyle \ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+(a-b)\cdot b+(a-b)\cdot b+b^{2}\quad |}$(Klammer auflösen)
${\displaystyle \ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+a\cdot b-b^{2}+a\cdot b-b^{2}+b^{2}\quad |}$(Zusammenrechnen)
${\displaystyle \ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+2\cdot a\cdot b-b^{2}\quad |}$
${\displaystyle \ \ \textstyle a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}=(a-b)^{2}\quad |}$(Seiten wechseln)
${\displaystyle \ \ \textstyle (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}$