Physik Oberstufe/ Elektrizitätslehre/ Induktion

Leite ein Formel zur Berechnung der Induktionsspannung ${\displaystyle U_{\rm {ind}}}$ ab. Es gilt:

${\displaystyle F_{\rm {L}}=e\cdot v\cdot B}$

${\displaystyle F_{\rm {el}}=e\cdot E=e\cdot {\frac {U_{\rm {ind}}}{d}}}$

Die Elektronen werden so lange verschoben, bis diese beiden Kräfte im Gleichgewicht sind. Dann gilt:

${\displaystyle F_{\rm {L}}=F_{\rm {el}}}$

${\displaystyle e\cdot v\cdot B=e\cdot E=e\cdot {\frac {U_{\rm {ind}}}{d}}\qquad \Leftrightarrow }$

${\displaystyle U_{\rm {ind}}=d\cdot v\cdot B\,.}$

Für die elektrische Leistung ${\displaystyle P}$ gilt:

${\displaystyle P_{\rm {el}}=U_{\rm {ind}}\cdot I\,,}$

für die mechanische Leistung:

${\displaystyle P_{\rm {mech}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}={\frac {F_{\rm {m}}\cdot \Delta x}{\Delta t}}=F_{\rm {m}}\cdot {\frac {\Delta x}{\Delta t}}=F_{\rm {m}}\cdot v\,.}$

Wenn man nun für die magnetische Kraft ${\displaystyle F_{\rm {m}}}$ auf den Leiter:

${\displaystyle F_{\rm {m}}=d\cdot I\cdot B}$

einsetzt und für die Induktionspannung ${\displaystyle U_{\rm {ind}}}$:

${\displaystyle U_{\rm {ind}}=d\cdot v\cdot B}$

verwendet, so sieht man, dass

${\displaystyle P_{\rm {el}}=P_{\rm {mech}}}$

ist. Die mechanisch aufgebrachte Leistung wird vollständig in elektrische Leistung umgesetzt.

Unsere Erklärung mit der Lorentzkraft ist nicht anwendbar, da sich weder Magnet noch Spule bewegen. Wie können wir dieses Experiment erklären? Allen drei Experimenten ist gemeinsam, dass die Induktionsspannung auftritt, wenn sich das Feld im Innern der Spule ändert. Gesucht ist ein Induktionsgesetz, das alle drei Fälle erfasst. Idee: Es ändert sich der magnetische Fluss ${\displaystyle \Phi }$, definiert als:

${\displaystyle \Phi :=B\cdot A}$

Eine Änderung des magnetischen Flusses ${\displaystyle \Phi }$ induziert eine Spannung. Probe am ersten Experiment (bewegte Leiterschleife):

${\displaystyle U_{\rm {ind}}=d\cdot v\cdot B=d\cdot {\frac {\Delta s}{\Delta t}}\cdot B={\frac {d\Delta s}{\Delta t}}\cdot B={\frac {\Delta A}{\Delta t}}\cdot B={\frac {\Delta \Phi }{\Delta t}}}$

Im allgemeinen Fall gilt mit der Windungszahl ${\displaystyle n}$ (eine Begründung des Vorzeichens erfolgt später mit der Lenzschen Regel):

${\displaystyle U_{\rm {ind}}=-n\cdot \Phi '(t)=-n\cdot {\dot {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}=\left(B(t)\cdot A(t)\right)'={\dot {B}}\cdot A+B\cdot {\dot {A}}}$ ${\displaystyle [\Phi ]={\frac {\rm {Vs}}{\rm {m^{2}}}}\cdot {\rm {m^{2}={\rm {Vs}}}}}$

Aufgabe: Eine Leiterschleife wird durch ein magnetisches Feld bewegt.

Idee: Die Fläche des Rähmchens senkrecht zu den Feldlinien ist relevant (“wirksame Fläche”).
Für diese gilt:

${\displaystyle A_{n}=A\cdot \cos \varphi (t)=l\cdot b\cdot \cos \varphi (t)\,.}$

Für den Winkel ${\displaystyle \varphi (t)}$ gilt mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle \varphi (t)=\omega \cdot t\,.}$

Für den magnetischen Fluss durch das Rähmchen erhalten wir:

${\displaystyle \Phi (t)=B\cdot A_{\rm {n}}=B\cdot l\cdot b\cdot \cos \varphi (t)=B\cdot l\cdot b\cdot \cos(\omega \cdot t)\,.}$

Die Induktionsspannung an ${\displaystyle n}$ Windungen ist dann:

${\displaystyle U_{\rm {ind}}=-n\cdot {\dot {\Phi }}(t)=-n\cdot B\cdot l\cdot b\cdot \left[\cos(\omega \cdot t)\right]'=\underbrace {n\cdot B\cdot l\cdot b\cdot \omega } _{=:\,{\hat {U}}_{\rm {ind}}}\cdot \sin(\omega \cdot t)\,.}$

Die maximale Induktionsspannung (Amplitude) der Wechselspannung bezeichnet man als ${\displaystyle {\hat {U}}_{\rm {ind}}}$.

Aufgabe: Eine Leiterschleife dreht sich im magnetischen Feld.

Frage: Welche Richtung hat ein aufgrund der Induktionsspannung ${\displaystyle U_{\rm {ind}}}$ fließender Induktionsstrom?
Lösung: Er ist so gerichtet, dass die magnetische Kraft ${\displaystyle F_{\rm {m}}}$ die Bewegung bremst (${\displaystyle \rightarrow }$ Energieerhaltung).

ToDo Bilder/Skizzen

Leite eine Formel für die Selbstinduktionsspannung einer langen Spule her. Es gilt:

${\displaystyle U_{\mathrm {ind} }=-n\cdot {\dot {\Phi }}=-n\cdot A\cdot {\dot {B}}\,.}$

Mit der Formel für das magnetische Feld im Innern einer langen Spule:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}{\frac {n\cdot I(t)}{l}}}$

folgt:

${\displaystyle U_{\mathrm {ind} }=-n\cdot A\cdot \mu _{0}\mu _{r}{\frac {n\cdot {\dot {I}}(t)}{l}}=-\underbrace {\frac {n^{2}\cdot A\cdot \mu _{0}\mu _{r}}{l}} _{=:L}\cdot {\dot {I}}(t)=-L{\dot {I}}(t)\,.}$

Dabei ist ${\displaystyle L:=\mu _{0}\mu _{r}{\frac {n^{2}\cdot A}{l}}}$ die Eigeninduktivität der langen Spule. ${\displaystyle L}$ hängt nur von der Bauart der Spule ab. Die Einheit der Eigeninduktivität ${\displaystyle L}$ ist:

${\displaystyle [L]={\frac {\rm {m^{2}Vs}}{\rm {Am^{2}}}}={\frac {\rm {Vs}}{\rm {A}}}={\rm {H\quad {\text{Henry}}.}}}$

Jede Spule hat eine charakteristische Eigeninduktivität ${\displaystyle L}$.

Im Folgenden bestimmen wir den zeitlichen Verlauf des Stroms ${\displaystyle I(t)}$ beim Einschalten einer Spule. Nach Anwendung der Maschenregel erhält man:

${\displaystyle U_{0}=U_{R_{\mathrm {i} }}+U_{L}=R_{\mathrm {i} }\cdot I(t)+L\,{\dot {I}}(t)\,.}$

Daraus ergibt sich die Differentialgleichung (DGL) für ${\displaystyle I(t)}$:

${\displaystyle {\dot {I}}(t)={\frac {U_{0}-R_{\mathrm {i} }\cdot I(t)}{L}}\,.}$

Gesucht ist die Funktion ${\displaystyle I(t)}$, die diese Differentialgleichung erfüllt. Außerdem muss im Moment des Einschaltens ${\displaystyle t=0}$ die Anfangsbedingung erfüllt sein:

${\displaystyle I(0)=0\,.}$

Die schon daraus folgende Gleichung erlaubt die Induktivität einer Spule experimentell aus der Steigung von ${\displaystyle I(t)}$ für ${\displaystyle t=0}$ zu bestimmen:

${\displaystyle {\dot {I}}(0)={\frac {U_{0}-R_{\mathrm {i} }\cdot I(0)}{L}}={\frac {U_{0}}{L}}\quad \implies \quad L={\frac {U_{0}}{{\dot {I}}(0)}}\,.}$

Nach hinreichend langer Zeit ändert sich der magnetische Fluss und damit ${\displaystyle I(t)}$ nicht mehr und es fließt dann der maximale Strom ${\displaystyle I(\infty )}$:

${\displaystyle {\dot {I}}(\infty )=0\quad \implies \quad I(\infty )={\frac {U_{0}}{R_{\mathrm {i} }}}\,.}$

Die gesuchte Lösung der DGL lautet:

${\displaystyle I(t)={\frac {U_{0}}{R_{\mathrm {i} }}}\left(1-e^{-{\frac {R_{\mathrm {i} }}{L}}t}\right)\,.}$

Beim Ausschalten fließt aufgrund der Selbstinduktion der Spule der Strom nach dem Ausschalten weiter. Wir leiten ihn über einen Schutzwiderstand ${\displaystyle R_{\mathrm {v} }}$. Durch Anwendung der Maschenregel erhält man wieder eine Differentialgleichung (DGL):

${\displaystyle 0=U_{R_{\mathrm {v} }}+U_{R_{\mathrm {i} }}+U_{L}=\underbrace {(R_{\mathrm {v} }+R_{\mathrm {i} })} _{=:R}\cdot I(t)+L\,{\dot {I}}(t)\,,}$

${\displaystyle \quad \implies \quad {\dot {I}}(t)=-{\frac {R}{L}}\cdot I(t)\,.}$

Im Moment des Ausschaltens ${\displaystyle t=0}$ gilt mit der Anfangsbedingung:

${\displaystyle I(0)={\frac {U_{0}}{R_{\mathrm {i} }}}}$

die Beziehung:

${\displaystyle {\dot {I}}(0)=-{\frac {R}{L}}\cdot I(0)=-{\frac {R}{L}}\cdot {\frac {U_{0}}{R_{\mathrm {i} }}}\,.}$

Die für ${\displaystyle t=0}$ an ${\displaystyle R_{\mathrm {v} }}$ anliegende (Induktions-) Spannung ist:

${\displaystyle U_{R_{\mathrm {v} }}=R_{\mathrm {v} }\cdot I(0)=R_{\mathrm {v} }\cdot {\frac {U_{0}}{R_{\mathrm {i} }}}={\frac {R_{\mathrm {v} }}{R_{\mathrm {i} }}}\cdot U_{0}\,.}$

Man beachte, dass für ${\displaystyle R_{\mathrm {v} }\gg R_{\mathrm {i} }}$ diese Spannung viel größer als ${\displaystyle U_{0}}$ ist.

Die Lösung der DGL für den Ausschaltvorgang lautet:

${\displaystyle I(t)={\frac {U_{0}}{R_{\mathrm {i} }}}e^{-{\frac {R}{L}}t}\,,\qquad R:=R_{\mathrm {i} }+R_{\mathrm {v} }\,.}$

Welche Energie ist in einer stromdurchflossenen Spule gespeichert? Wir betrachten die Leistung, die nach dem Ausschalten (also dem Abtrennen der Spannungsquelle) umgesetzt wird:

${\displaystyle P(t)=U_{\mathrm {ind} }(t)\cdot I(t)=-L{\dot {I}}(t)\cdot I(t)\,.}$

Wir integrieren diese Leistung ${\displaystyle P(t)}$, um die gesamte, der Spule entstammende Energie zu bestimmen:

${\displaystyle W=\int _{0}^{\infty }-L{\dot {I}}(t)\cdot I(t)\,{\rm {{dt}=-{\frac {L}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left(I(t)^{2}\right)\,{\rm {{dt}=-{\frac {L}{2}}\left[I(t)^{2}\right]_{0}^{\infty }\,.}}}}}$

Zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ fließt der Strom ${\displaystyle I=I(0)}$, der dann exponentiell abfällt, d.h. ${\displaystyle I(\infty )=0}$. Die Spule speichert also insgesamt die Energie:

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}LI^{2}}$

Diese Energie sitzt im magnetischen Feld der Spule. Wenn wir für ${\displaystyle L}$ die Formel der langen Spule einsetzen und den Strom durch die magnetische Feldstärke ${\displaystyle B}$ ausdrücken sowie für das Volumen der Spule ${\displaystyle V=A\cdot l}$ verwenden, ergibt sich:

${\displaystyle W_{\mathrm {mag} }={\frac {1}{2}}{\frac {n^{2}\cdot A\cdot \mu _{0}\mu _{r}}{l}}I^{2}={\frac {n^{2}\cdot A\cdot \mu _{0}\mu _{r}}{2l}}\left({\frac {l\cdot B}{\mu _{0}\mu _{r}n}}\right)^{2}={\frac {A\cdot l\cdot B^{2}}{2\mu _{0}\mu _{r}}}={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}\mu _{r}}}\cdot V}$

Für die Energiedichte des magnetischen Feldes ${\displaystyle \rho _{\mathrm {mag} }={\frac {W_{\mathrm {mag} }}{V}}}$ erhält man:

${\displaystyle \rho _{\mathrm {mag} }={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}\mu _{r}}}}$.

Aufgabe: Herleitung durch Integration von ${\displaystyle P=U\cdot I=R\cdot I^{2}}$.