65537-Eck

• Da eine exakte Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal nicht praktikabel abgebildet werden kann, wird im Folgenden mithilfe GeoGebra die erste Seite als Näherungskonstruktion in einer stark vergrößerter Ansicht dargestellt.

1. Es sei ein Kreis um ${\displaystyle M}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Halbgerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle E_{65537}}$.
3. Halbgerade senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {AE_{65537}}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$.
4. Strecken ${\displaystyle {\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$ eintragen.
5. Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle D}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle J}$.
6. Strecke ${\displaystyle {\overline {AK}}={\overline {DK}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle K}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle L}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle E_{65537}}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {FK}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |E_{65537}L|={\overline {FK}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle N}$ als ${\displaystyle |BN|={\overline {AH}}}$ bis ${\displaystyle A_{1}}$ als ${\displaystyle |E_{65537}A_{1}|={\overline {MA}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle A_{1}}$ durch ${\displaystyle W}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle B_{1}}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle B_{1}}$ durch ${\displaystyle V}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle C_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle D_{1}}$ bis ${\displaystyle M_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Verbinde den Punkt ${\displaystyle M_{1}}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle M}$, auf dem Umkreis ergibt sich somit annähernd die Ecke ${\displaystyle E_{1024}}$, d. h. der Kreisbogen ${\displaystyle ME_{65537}E_{1024}}$ beinhaltet annähernd 1024 Seiten des regelmäßigen 65537-Ecks.

In der dritten Vergrößerung, ergibt sich somit annähernd die erste Seite E₆₅₅₃₇E₁ = a des regelmäßigen 65537-Ecks.

• Konstruierter Winkel (Anzeige GeoGbra) ${\displaystyle \mu _{1024}=5{,}62491417062117^{\circ }}$
• Winkel ${\displaystyle \mu _{1024\;SOLL}=360^{\circ }\cdot {\frac {1024}{65537}}=5{,}62491417062118^{\circ }}$, gerundet
• Absoluter Fehler des konstruierten Winkels ${\displaystyle F_{\mu 1024}=\mu _{1024}-\mu _{1024\;SOLL}=-1E-14^{\circ }}$

(1 Winkelsekunde = ${\displaystyle {\frac {1^{\circ }}{3600}}}$ = 0,000277...° = 2,77...E-4°)

• Konstruierte Seite des 65537-Ecks (Anzeige GeoGbra) ${\displaystyle a={\overline {E_{65537}E_{1}}}=9{,}58723363103780E-5\;[LE]}$
• Seite des 65537-Ecks ${\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{65537}}\right)=9{,}5872336310378200E-5\;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten ersten Seite ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=-2E-19\;[LE]}$
• Absoluter Fehler der letzten Seite ${\displaystyle F_{a65537}=-F_{a}\cdot 65537=2E-19\cdot 65537=1{,}31074E-14\;[LE]}$

• Konstruierter Zentriwinkel (Anzeige GeoGbra) ${\displaystyle \mu =5{,}49308024474723E-3^{\circ }}$
• Zentriwinkel ${\displaystyle \mu _{SOLL}={\frac {360^{\circ }}{65537}}=5{,}4930802447472420E-3^{\circ }}$
• Absoluter Fehler vom konstruierten Zentriwinkel ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=-1{,}2...E-17^{\circ }}$

Bei einem Umkreisradius r = 10 Billionen km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 1 Jahr und 21 Tage) wäre die 1. Seite ca. 2 mm zu kurz, bzw. die 65537. Seite ca. 131 m zu lang.

•  65537-Eck
•  GeoGebra
•  Lichtgeschwindigkeit
• 65527-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mit der Quadratrix des Hippias und einem Programm für dynamische Geometrie als zusätzliche Hilfsmittel
• 65537-Eck aus mathematik-olympiaden.de, mit Bildern der Dokumentation nach HERMES; abgerufen am 16. Juli 2016