Siebzehneck

Eigenschaften, mathematischer Hintergrund u. a. m. sind in dem Artikel  Siebzehneck enthalten.

Das folgende regelmäßiges Siebzehneck ist eine ausführlich dargestellte Version der Konstruktion, die von Herbert W. Richmond 1893 veröffentlicht wurde.

Ist ein Kreis k₁ (der Umkreis um das entstehende Siebzehneck) um den Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers von k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B.
2. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k₁ sind C und D.
3. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
4. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA.
5. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ zwischen OF und FA.
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ zwischen m und w₁; Schnittpunkt mit AB ist G.
7. Konstruktion der Senkrechten s zu w₂ durch F.
8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₃ zwischen s und w₂; Schnittpunkt mit AB ist H.
9. Konstruktion des Thaleskreises k₂ (mit Mittelpunkt M) über HA; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
10. Konstruktion eines Kreises k₃ um G, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N (dabei liegt N sehr nahe an M).
11. Konstruktion der Tangente an k₃ durch N; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte P₃ und P₁₄ des Siebzehnecks.
12. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d₁ = AP₃ von k₁ auf k₁ – ab dem Eckpunkt P₃ entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P₁₄ im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k₁ sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
13. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Unterschiede zum Original

• Der Kreis k₂ bestimmt statt der Winkelhalbierenden w₃ den Punkt H.
• Der Kreis k₄ um den Punkt G′ (Spiegelung des Punktes G an m) ergibt den Punkt N, der dadurch für die Konstruktion der Tangente nicht mehr so nah an M liegt.
• Einige Bezeichnungen sind geändert.

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichnen eines großen Kreises k₁ (des Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um den Mittelpunkt O.
2. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B.
3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k₁ sind C und D.
4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FB.
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ zwischen OF und FB; Schnittpunkt mit AB ist Q.
7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ zwischen OF und FQ; Schnittpunkt mit AB ist G.
8. Konstruktion von G′ durch Spiegelung von G an m.
9. Konstruktion des Kreises k₂ um Q, der durch F verläuft; der näher an m liegende Schnittpunkt mit AB ist H.
10. Konstruktion des Thaleskreises k₃ über HB; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
11. Konstruktion des Kreises k₄ um G′, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N.
12. Konstruktion der Tangente an k₄ durch N; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte P₃ und P₁₄ des Siebzehnecks.
13. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d₁ = AP₃ von k₁ auf k₁ – ab dem Eckpunkt P₃ entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P₁₄ im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k₁ sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
14. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Das folgende Konstruktionsprinzip nutzt als Ansatz die gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\;\right).}$

Zuerst wird auf einer Zahlengeraden der Hauptteil der Formel ohne den Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$ abgebildet. Es folgt die geometrische Division mit dem Divisor ${\displaystyle 16}$ und schließt mit einer zehnfachen Vergrößerung einer Dreieckseite ab, deren Länge dem Kosinus des Zentriwinkels entspricht.

1. Zeichne die Zahlengerade ${\displaystyle s_{1}}$ und bestimme darauf Punkt ${\displaystyle A}$, die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}=1}$ und ${\displaystyle {\overline {AC}}=17\cdot {\overline {AB}}.}$
2. Errichte die Zahlengerade ${\displaystyle s_{2}}$ durch Punkt ${\displaystyle A}$ als Senkrechte zur Zahlengerade ${\displaystyle s_{1}}$ und bestimme darauf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AD}}=4\cdot {\overline {AB}}}$, dabei ist Punkt ${\displaystyle D=0}$ auf ${\displaystyle s_{2}.}$
3. Ziehe durch ${\displaystyle D}$ die zweite Zahlengerade ${\displaystyle s_{3}}$ als Parallele zur ${\displaystyle s_{1}.}$
4. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}},}$ als Schnittpunkt ergibt sich Punkt ${\displaystyle F.}$
5. Zeichne den Halbkreis um ${\displaystyle F}$ ab ${\displaystyle C}$ und eine Parallele zur Zahlengeraden ${\displaystyle s_{2}}$ ab Punkt ${\displaystyle B}$ bis zum Halbkreis, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle G.}$
6. Verbinde den Punkt ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle G}$, die so erhaltene Strecke ${\displaystyle {\overline {AG}}={\sqrt {17}}.}$
7. Ziehe einen Halbkreis um Punkt ${\displaystyle A}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle H=-1}$ auf ${\displaystyle s_{1}.}$
8. Übertrage ab Punkt ${\displaystyle H}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {AG}}={\sqrt {17}}}$ auf die Zahlengerade ${\displaystyle s_{1}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle I=-1+{\sqrt {17}}.}$
9. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden ${\displaystyle s_{2}}$ ab Punkt ${\displaystyle I}$ bis ${\displaystyle s_{3}}$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle J.}$
10. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AK}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\displaystyle {\overline {AG}}}$ von ${\displaystyle {\overline {AC}}}$, somit ist ${\displaystyle {\overline {AK}}=17-{\sqrt {17}}.}$
11. Verdopple die Strecke ${\displaystyle {\overline {AK}}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle L}$, somit ist ${\displaystyle {\overline {AL}}=2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right).}$
12. Ziehe den Kreisbogen ${\displaystyle b_{1}:}$ ${\displaystyle LMK}$ und addiere anschließend zum Punkt ${\displaystyle K}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}=1}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle N.}$
13. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden ${\displaystyle s_{1}}$ ab Punkt ${\displaystyle N}$ bis zum Kreisbogen ${\displaystyle b_{1}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle O.}$
14. Verbinde Punkt ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle O}$, die so erhaltene Strecke ${\displaystyle {\overline {KO}}={\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}.}$
15. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ durch Addition der Strecke ${\displaystyle {\overline {KO}}}$ zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AI}}}$, somit ist ${\displaystyle {\overline {AP}}=-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}.}$
16. Fälle das Lot vom Punkt ${\displaystyle P}$ auf die Zahlengerade ${\displaystyle s_{3}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle Q.}$
17. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AT}}}$ durch dreimalige Addition der Strecke ${\displaystyle {\overline {AG}}}$ zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$, als Schnittpunkte ergeben sich ${\displaystyle R,S}$ und ${\displaystyle T,}$ somit ist ${\displaystyle {\overline {AT}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}.}$
18. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AU}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\displaystyle {\overline {KO}}}$ von ${\displaystyle {\overline {AT}}}$, somit ist ${\displaystyle {\overline {AU}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}.}$
19. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {SV}},}$ sie ist gleich lang wie ${\displaystyle {\overline {AR}}=17+{\sqrt {17}}.}$
20. Ziehe den Kreisbogen ${\displaystyle b_{2}:}$ ${\displaystyle SWV}$ und addiere anschließend zum Punkt ${\displaystyle V}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}=1}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle A_{1}.}$
21. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden ${\displaystyle s_{1}}$ ab ${\displaystyle A_{1}}$ bis zum Kreisbogen ${\displaystyle b_{2}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle B_{1}.}$
22. Verbinde Punkt ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle B_{1}}$, die so erhaltene Strecke ${\displaystyle {\overline {VB_{1}}}={\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}.}$
23. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AC_{1}}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\displaystyle {\overline {VB_{1}}}}$ von ${\displaystyle {\overline {AU}}}$, somit ist ${\displaystyle {\overline {AC_{1}}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-{\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}.}$
24. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AD_{1}}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\displaystyle {\overline {VB_{1}}}}$ von ${\displaystyle {\overline {AC_{1}}}}$, somit ist ${\displaystyle {\overline {AD_{1}}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2\cdot {\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}.}$
25. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {AD_{1}}}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle F_{1}}$
26. Ziehe den Kreisbogen ${\displaystyle b_{3}:}$ ${\displaystyle D_{1}G_{1}F_{1}}$ und addiere anschließend zum Punkt ${\displaystyle F_{1}}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}=1}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle H_{1}.}$
27. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden ${\displaystyle s_{1}}$ ab ${\displaystyle H_{1}}$ bis zum Kreisbogen ${\displaystyle b_{3}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle I_{1}.}$
28. Verbinde den Punkt ${\displaystyle F_{1}}$ mit ${\displaystyle I_{1}}$, die so erhaltene Strecke ${\displaystyle {\overline {F_{1}I_{1}}}={\sqrt {17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2\cdot {\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}.}$
29. Addiere zur Strecke ${\displaystyle {\overline {DQ}}\;(={\overline {AP}})}$ zweimal die Strecke ${\displaystyle {\overline {F_{1}I_{1}}}}$, als Schnittpunkte ergeben sich ${\displaystyle J_{1}}$ und ${\displaystyle K_{1},}$ somit ist der Hauptteil der Formel auf ${\displaystyle s_{3}}$ konstruiert; die Strecke ${\displaystyle {\overline {DK_{1}}}=-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2\cdot {\sqrt {17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2\cdot {\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}.}$

1. Bestimme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AL_{1}}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}=1}$ von ${\displaystyle {\overline {AC}}}$, somit ist ${\displaystyle {\overline {AL_{1}}}=16\cdot {\overline {AB}}.}$
2. Fälle das Lot vom Punkt ${\displaystyle L_{1}}$ auf die Zahlengerade ${\displaystyle s_{3}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle M_{1}.}$
3. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade ${\displaystyle s_{2}}$ vom Punkt ${\displaystyle B}$ bis auf ${\displaystyle s_{3}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle N_{1}.}$
4. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {AD}}}$, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt ${\displaystyle O_{1}}$, dabei ist ${\displaystyle O_{1}=2}$ auf der Zahlengeraden ${\displaystyle s_{2}.}$
5. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade ${\displaystyle s_{3}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle O_{1}}$ bis auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {N_{1}B}}}$, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle P_{1}.}$
6. Lege ein Lineal mit seiner Kante an die Punkte ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle M_{1},}$ danach markiere mithilfe der Linealkante auf der Zahlengeraden ${\displaystyle s_{2}}$ den Schnittpunkt ${\displaystyle Q_{1}.}$ Eine Linie durch ${\displaystyle P_{1}}$ nach ${\displaystyle M_{1}}$ ist nicht notwendig, sie würde auch zu dicht an der folgenden (grünen) Fuktionslinie sein.
7. Verbinde den Punkt ${\displaystyle Q_{1}}$ mit ${\displaystyle K_{1}}$, die Strecke ${\displaystyle {\overline {Q_{1}K_{1}}}}$ (grüne Linie) schneidet die Strecke ${\displaystyle {\overline {O_{1}P_{1}}}}$ in einem, wegen des sehr kleinen Dreiecks ${\displaystyle \Delta O_{1}P_{1}Q_{1}}$, nicht sichtbaren Punkt; nennen wir den virtuellen Punkt ${\displaystyle R_{1}}$.

Somit ist die geometrische Division mit dem Divisor ${\displaystyle 16}$ durchgeführt.

Die virtuelle Strecke ${\displaystyle {\overline {O_{1}R_{1}}}}$ entspricht bereits dem Kosinus des Zentriwinkels:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {O_{1}R_{1}}}&={\frac {1}{16}}\cdot {\overline {DK_{1}}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\;\right)\\&=0{,}9324722294043558\ldots \;{\widehat {=}}\;\cos \mu \\\end{aligned}}}$

Um das Siebzehneck fertig konstruieren zu können, bedarf es noch einer starken Vergrößerung der Strecke ${\displaystyle {\overline {O_{1}R_{1}}}.}$

Betrachtet man zuerst von den beiden ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken ${\displaystyle \Delta N_{1}M_{1}P_{1}}$ und ${\displaystyle \Delta O_{1}P_{1}Q_{1}}$ (beide nur durch deren Eckpunkte bestimmt) jeweils das Verhältnis der kleinen zur großen Kathete, so zeigt sich mit ${\displaystyle {\overline {O_{1}P_{1}}}=1}$:

${\displaystyle {\overline {N_{1}P_{1}}}:{\overline {N_{1}M_{1}}}=2:15={\overline {O_{1}Q_{1}}}:1=0{,}1{\overline {3}}=0{,}4:3,}$

d. h. bei einer Vergrößerung der kleinen Kathete ${\displaystyle {\overline {O_{1}Q_{1}}}}$ mit dem Faktor ${\displaystyle 10,}$ wird deren Länge

${\displaystyle 10\cdot 0{,}1{\overline {3}}=1{,}{\overline {3}}={\frac {4}{3}}\;[LE].}$

Nun zum virtuellen rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle \Delta O_{1}R_{1}Q_{1}}$ mit den beiden Gegebenheiten:

• Kleine Kathete ${\displaystyle {\overline {O_{1}Q_{1}}},}$ ist dieselbe des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle \Delta O_{1}P_{1}Q_{1},}$
• Winkel am Scheitel ${\displaystyle Q_{1},}$ durch den Verlauf der Strecke ${\displaystyle {\overline {Q_{1}K_{1}}}}$ (grüne Linie) bestimmt.

Konstruiert man nun, wie im Folgenden beschrieben, ein rechtwinkliges Dreieck, das dem virtuellen rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle \Delta O_{1}R_{1}Q_{1}}$ ähnlich ist und eine kleine Kathete mit der Länge ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\;[LE]}$ besitzt, ergibt sich als verwendbare große Kathete nochmals der Kosinus des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu .}$

1. Bestimme den Punkt ${\displaystyle S_{1}}$ nahe ${\displaystyle M_{1},}$ als dritten Teil der Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}L_{1}}}=4}$, es ergibt sich die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {S_{1}M_{1}}}={\frac {1}{3}}\cdot {\overline {M_{1}L_{1}}}={\frac {1}{3}}\cdot 4={\frac {4}{3}}\;[LE].}$
2. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden ${\displaystyle s_{3}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle S_{1}}$ bis auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {Q_{1}K_{1}}}}$ (grüne Linie), als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle R_{1}'.}$
3. Zeichne ab ${\displaystyle K_{1}}$ eine Parallele zur Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}L_{1}}}}$ bis auf ${\displaystyle {\overline {S_{1}R_{1}'}},}$ als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle T_{1}.}$

Das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle \Delta T_{1}R_{1}'K_{1}}$ ist ähnlich dem virtuellen Dreieck ${\displaystyle \Delta O_{1}R_{1}Q_{1};}$ der Punkt ${\displaystyle R_{1}'}$ ist das Pendant des oben benannten Punktes ${\displaystyle R_{1}.}$

Somit ist die Strecke ${\displaystyle {\overline {T_{1}R_{1}'}}=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)}$ der gesuchte Kosinus des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu .}$

4. Verdoppele die Strecke ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ auf dem Zahlenstrahl ${\displaystyle s_{2}}$ und addiere anschließend dazu geometrisch den Zahlenwert ${\displaystyle 2}$ (Strecke ${\displaystyle {\overline {AO_{1}}}}$), es ergeben sich auf ${\displaystyle s_{2}}$ die Zahlenwerte ${\displaystyle 8}$ und ${\displaystyle 10.}$
5. Bestimme den Punkt ${\displaystyle U_{1}}$ auf ${\displaystyle s_{2}}$ beliebig und zeichne ab ${\displaystyle U_{1}}$ eine Parallele zu ${\displaystyle s_{1}.}$
6. Übertrage die Strecke ${\displaystyle {\overline {D10}}}$ auf diese Parallele, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle T_{1}'.}$
7. Ziehe den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks um ${\displaystyle T_{1}'}$ durch ${\displaystyle U_{1},}$ dabei ergibt sich der siebzehnte Eckpunkt ${\displaystyle E_{17}}$.
8. Übertrage die Strecke ${\displaystyle {\overline {T_{1}R_{1}'}}(=cos\mu )}$ ab ${\displaystyle T_{1}'}$ auf den Radius des Umkreises, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt ${\displaystyle R_{1}''.}$
9. Errichte eine Senkrechte auf ${\displaystyle \cos \mu }$ ab ${\displaystyle R_{1}''}$ entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum Kreis, als Schnittpunkt ergibt sich ${\displaystyle E_{1},}$ der erste Eckpunkt des Siebzehnecks.
10. Verbinde den Eckpunkt ${\displaystyle E_{1}}$ mit ${\displaystyle E_{17}}$, somit ist die erste Seite ${\displaystyle a}$ des Siebzehnecks exakt konstruiert.
11. Abschließend trage die Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{17}E_{1}}}}$ noch fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis ab. Nach dem Verbinden der benachbarten Eckpunkte ergibt sich das regelmäßige Siebzehneck ${\displaystyle E1\ldots E17}$.

 Siebzehneck

Siebzehneck, Seite gegeben

 Mittelsenkrechte

 Thaleskreis

 Winkelhalbierende

 Spiegelung (Geometrie)

Parallele hier im Kapitel Grundkonstruktionen

 Kreiswinkel, Zentriwinkel

 Zentrische Streckung

 Dritter Strahlensatz

 Zahlengerade

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke, mit Kurzbeschreibung, Animation

Herbert W. Richmond 1893 Siebzehneck Beschreibung und Siebzehneck Abbildung (Fig. 6)