Primzahlen: Ic. Kapitel: Der kleine Fermat

In Kapitel I. Eigenschaften wurde der kleine fermatsche Satz ${\displaystyle a^{n}-a\equiv 0{\pmod {n}}\ }$ aufgeführt, dass also ${\displaystyle a^{n}-a\ }$ durch ${\displaystyle n\ }$ teilbar ist, wenn ${\displaystyle n\ }$ eine Primzahl ist. Man kann ${\displaystyle a^{p}-a\ }$, mit ihrer Eigenschaft, durch die Primzahl ${\displaystyle p\ }$ teilbar zu sein, immer wieder mal antreffen. Im weiteren wird ${\displaystyle a^{p}-a\ }$ als ${\displaystyle a^{p}-a^{1}\ }$ dargestellt.

Für alle Lucas-Folgen ${\displaystyle V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\ }$ mit ${\displaystyle P>0\ }$ und ${\displaystyle Q=\pm 1}$ gilt, dass ${\displaystyle (V_{n}(P,Q)-P)\ }$ durch ${\displaystyle n\ }$ teilbar ist, wenn ${\displaystyle n\ }$ eine Primzahl ist. Oder anders ausgedrückt:

${\displaystyle V_{n}(P,Q)\equiv P{\pmod {n}}}$ für alle ${\displaystyle n}$, die Primzahlen sind.

Es trifft nun zu, dass ${\displaystyle V_{1}(P,Q)\ }$ immer ${\displaystyle P\ }$ ist. Demzufolge lässt sich auch schreiben: Wenn ${\displaystyle n\ }$ eine Primzahl ist, dann gilt, dass ${\displaystyle V_{n}(P,Q)-V_{1}(P,Q)\ }$ durch ${\displaystyle n\ }$ teilbar ist. Das sieht dem kleinen fermatschen Satz ziemlich ähnlich. Und in der Tat ist der Spezialfall: ${\displaystyle V_{n}(A+1,A)-V_{1}(A+1,A)\ }$ mit ${\displaystyle A\geq 1}$ identisch mit dem kleinen fermatschen Satz ${\displaystyle a^{n}-a^{1}\ }$.