Pseudoprimzahlen: Zeisel-Zahlen

Die Zeisel-Zahl ist eine nach dem Mathematiker Helmut Zeisel benannte Zahl, die das Produkt wenigstens dreier Primzahlen ist, die einer bestimmten linearen Rekursion genügen. Eine besondere Bedeutung in der Mathematik haben sie nicht. Auf Grund gewisser Ähnlichkeiten mit den Carmichael-Zahlen sind sie hier aufgeführt.

p₀ = 1

p_n = a·p_n-1 + b

Dabei muss jedes p_n mit ${\displaystyle n\geq 1}$ eine Primzahl ergeben, und sowohl a als auch b sind für alle p_n konstant. Die Zeisel-Zahl z ist dann das Produkt ${\displaystyle p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}}$.

In diesem Beispiel ist a = 2 und b = 3.

p0 = 1
p1 = a·p0 + b = 2·1  + 3 = 5
p2 = a·p1 + b = 2·5  + 3 = 13
p3 = a·p2 + b = 2·13 + 3 = 29

z = p1 · p2 · p3 = 5 · 13 · 29 = 1885

Die Bildungsregel der Carmichael-Zahlen nach J. Chernick lautet (6n+1)*(12n+1)*(18n+1). Diese Bildungsregel ist identisch mit der Bildungsregel für Zeisel-Zahlen mit einem a=1 und b=6n. Demzufolge sind alle Carmichael-Zahlen nach Chernick, die ein Produkt aus drei Primzahlen bilden, auch Zeisel-Zahlen.

Die Carmichael-Zahlen sind fett geschrieben.

Der Name "Zeisel-Zahl" wurde vermutlich von Kevin Brown eingeführt, der Zahlen ${\displaystyle k}$ suchte, für die der Ausdruck ${\displaystyle 2^{k-1}+k}$ eine Primzahl ergibt. In einem Posting in die Usenet-Newsgroup sci.math vom 24. Februar 1994 lieferte Helmut Zeisel die Zahl 1885 als eine weitere Lösung. Später wurde (durch Kevin Brown?) entdeckt, dass die Primfaktoren von 1885 die oben beschriebenene Eigenschaft haben. Ein Name der Art Brown-Zeisel-Zahlen wäre daher passender.

Man muss sich bei der Bildung der Zeisel-Zahl nicht auf ${\displaystyle p_{0}=1}$ beschränken. Auch davon abweichende Werte sind möglich.

• ${\displaystyle p_{0}=4,\ a=2,\ b=5}$

p0 = 4
p1 = a·p0 + b = 2·4  + 5 = 13
p2 = a·p1 + b = 2·13 + 5 = 31
p3 = a·p2 + b = 2·31 + 5 = 67

z = p1 · p2 · p3 = 13 · 31 · 67 = 27001

• ${\displaystyle p_{0}=-1,\ a=8,\ b=27}$

p0 = -1
p1 = a·p0 + b = 8·-1   + 27 =   19
p2 = a·p1 + b = 8·19   + 27 =  179
p3 = a·p2 + b = 28·179 + 27 = 1459

z = p1 · p2 · p3 = 19 · 179 · 1459 = 4962059

• ${\displaystyle p_{0}=13,\ a=10,\ b=9}$

p0 = 13
p1 = 139
p2 = 1399
p3 = 13999
p4 = 139999
p5 = 1399999

z = 139 · 1399  · 13999 · 139999 · 1399999 = 533558677367032199539

• Sloane Sequence A051015
• Zeisel Number from MathWorld (englisch)
• MathPages - Zeisel Numbers (englisch)

_{Quelle: Die Zeisel-Zahlen sind aus dem Artikel Zeisel-Zahl der deutsprachigen de.wikipedia.org entnommen.}