Statistik: Test auf Anteilswert

Die Verteilung des Merkmals X einer dichotomen Grundgesamtheit lässt sich durch das Urnenmodell beschreiben. Man möchte den Anteilswert θ, also den Anteil der Kugeln erster Sorte in der Urne bestimmen. Der Anteilswert wird geschätzt durch

${\displaystyle {\hat {\theta }}=p={\frac {x}{n}}}$,

wobei x die Zahl der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe ist. Bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen ist X binomialverteilt.

Falls

${\displaystyle n>{\frac {9}{\theta \cdot (1-\theta )}}}$

können wir die Prüfgröße verwenden

${\displaystyle z={\frac {x\pm 0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}}$

• H₀: θ = θ₀ wird abgelehnt, falls

${\displaystyle z={\frac {x+0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}<-z(1-\alpha /2)}$,

(wenn die Prüfgröße z < 0 ist) oder

${\displaystyle z={\frac {x-0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}>z(1-\alpha /2)}$

(wenn die Prüfgröße z > 0 ist) errechnet wird.

• H₀: θ ≤θ₀ wird abgelehnt, falls

${\displaystyle z>z={\frac {x-0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}>z(1-\alpha )}$

ist.

• H₀: θ ≥ θ₀ wird abgelehnt, falls

${\displaystyle z={\frac {x+0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}<-z(1-\alpha )}$

ist.

Ist n zu klein, kann der Ablehnungsbereich mit Hilfe der F-Verteilung exakt bestimmt werden oder mit dem Prinzip des konservativen Testens festgelegt werden.