Statistische Mechanik/ Kritische Exponenten

In der Nähe einer kritischen Temperatur ${\displaystyle T_{C}}$, bei der ein Phasenübergang stattfindet, nehmen thermodynamische Größen wie die spezifische Wärmekapazität ${\displaystyle C_{V/P}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V/P}{\underset {t\rightarrow 0,\,t>0}{\sim }}t^{-\alpha }}$, die Magnetisierung ${\displaystyle m{\underset {t\rightarrow 0,\,t<0}{\sim }}\left(-t\right)^{\beta }\sim h^{\frac {1}{\delta }}}$, magnetische Suszeptibilität ${\displaystyle \chi {\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}\left|t\right|^{-\gamma }}$, die Korrelationsradius ${\displaystyle \xi {\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}\left|t\right|^{-\nu }}$ und die Korrelationsfunktion ${\displaystyle {\hat {G}}\left(r\right){\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}r^{-d+2-\eta }}$ charakteristische Exponentialgesetze als Funktionen der Temperaturdifferenz ${\displaystyle t=T-T_{C}\rightarrow 0}$, eines magnetischen Feldes h oder eines Abstandes r an. Die darin vorkommenden Exponenten heißen kritische Exponenten. Später zeigen wir noch, dass die kritischen Exponenten voneinander folgendermaßen abhängen:

${\displaystyle 2\beta +\gamma =2-\alpha =d\cdot \nu }$,

${\displaystyle \left(2-\eta \right)\nu =\gamma =\beta \left(\delta -1\right)}$,

worin die Gleichung ${\displaystyle 2-\alpha =d\cdot \nu }$ Hyperskalenrelation genannt wird und d die Dimension des Systems ist, während die ersten beiden Gleichungen als Folge einer Skalenrelation angesehen werden.