Siderischer Tag und Sonnentag

Die Zeitspanne zwischen zwei Meridiandurchgängen der Sonne ist ein Sonnentag; er beträgt im Mittel 24 Stunden. Im Unterschied dazu wird die Zeitspanne zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes als siderischer Tag bezeichnet. Dieser entspricht der Dauer für eine Drehung der Erde um sich selbst und beträgt im Mittel 23 Stunden 56 Minuten und 4 Sekunden. Der Unterschied von durchschnittlich 3 Minuten und 56 Sekunden zum Sonnentag ergibt sich durch die jährliche Bewegung der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne. Von Tag zu Tag kommt die Erde auf der Erdbahn um nahezu einen Bogengrad voran (auf einen vollen Umlauf von 360 Grad entfallen rund 365 Sonnentage beziehungsweise rund 366 siderische Tage). Da Umdrehung und Umlauf beide den gleichen Drehsinn haben, muss sich die Erde um ebenfalls knapp ein Grad über die volle Umdrehung hinaus weiterdrehen, bis die Sonne wieder durch den gleichen Meridian geht. Diese täglichen zusätzlichen Teildrehungen machen in einem Jahr genau eine ganze Umdrehung aus. Daher ist die Anzahl der auf den Meridiandurchgang der Sonne bezogenen Tage um 1 kleiner als die der siderisch bezogenen Tage.

Die Erdrotation ist sehr gleichmäßig, weshalb die Dauer eines siderischen Tages nur sehr gering schwankt. Dagegen sind die Schwankungen in der Dauer von Sonnentagen erheblich größer, wegen der geneigten Rotationsachse der Erde und ihrer unterschiedlichen Bahngeschwindigkeit auf der elliptischen Bahn um die Sonne. Sonnentage können bis etwa 30 Sekunden länger oder bis etwa 20 Sekunden kürzer sein als ihr mittlerer Wert. Ihre Unterschiede vom Mittelwert können sich über Monate hinweg bis zu rund einer Viertelstunde aufsummieren, bevor sich der Effekt wieder umkehrt. Die am Sonnenstand abgelesene wahre Sonnenzeit (WOZ) vergeht somit ungleichmäßig. Ihre Abweichung von der gleichmäßig vergehenden, zum Beispiel von einer Räderuhr ablesbaren, mittleren Sonnenzeit (MOZ) ist die sogenannte Zeitgleichung.

Mittlere Sonne

Als der von der (scheinbaren) Bewegung der (wahren) Sonne „gemachte“ Sonnentag als ungleichmäßig lang erkannt wurde, der Sonnentag aber grundlegendes Zeitmaß bleiben sollte, wurde auf den formalen Gebrauch einer fiktiven sogenannten mittleren Sonne ausgewichen und mit der sogenannten mittleren Sonnenzeit ein gleichmäßiges Zeitmaß geschaffen. Die künstliche mittlere Sonne dieses Modells läuft gleichmäßig und nicht auf der Ekliptik, sondern auf dem Himmels-Äquator um und „macht“ dabei den mittleren Sonnentag.

Erste Ursache: Elliptizität der Erdbahn

Die Bahn der Erde um die Sonne ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Das zweite Keplersche Gesetz beschreibt die Veränderung der Bahngeschwindigkeit der Erde während eines Umlaufs. In der Umgebung des Perihels – des sonnennächsten Punkts – bewegt sich die Erde – von der Sonne gesehen – mit höherer Winkelgeschwindigkeit als im Mittel und legt während eines Tages einen größeren Winkel zurück, sodass sie eine etwas größere Zusatzdrehung machen muss, bis die Sonne wieder durch den Meridian geht. Das dauert länger als im Durchschnitt. In der Umgebung des Aphels – des sonnenfernsten Punkts – ist es umgekehrt.

In Perihel-Umgebung (Winterhalbjahr auf der Nordhalbkugel) vergeht die wahre Sonnenzeit wegen der größeren Erdgeschwindigkeit (und der dadurch nötigen größeren Zusatzdrehung) langsamer, in Aphel-Umgebung (Sommerhalbjahr auf der Nordhalbkugel) vergeht sie schneller als die gleichmäßige mittlere Sonnenzeit. Die Änderung der wahren Tageslänge zwischen zwei Tagen beträgt maximal etwa ±8 Sekunden. Die Summierung dieser Änderungen ergibt innerhalb eines Jahres maximal etwa ±7½ Minuten Schwankung der wahren Sonnenzeit (sinusartige schwarze Linie in obigem Diagramm (ohne Ekliptikschiefe), Nulldurchgänge im Perihel und im Aphel).

Durch die Überlagerung der zweiten Ursache der Zeitgleichung werden die aus der ersten Ursache resultierenden Schwankungswerte verändert.

Zweite Ursache: parallele Verlagerung der geneigten Erdachse

Die Elevation der Sonne bei ihrem Meridiandurchgang ändert sich von Tag zu Tag. Am niedrigsten ist sie zum Wintersolstitium, am höchsten zum Sommersolstitium, die größte Änderung findet zu den Äquinoktien statt. Die Meridianebene ist nur zu den Solstitien parallel zur Achse der Erdbahn. Deswegen hat zu allen anderen Zeitpunkten die tägliche Elevationsänderung in Bezug auf die Erdbahnebene eine azimutale Komponente. Diese ist stets gleichsinnig mit der Erdrotation, verkürzt daher außer zu den Solstitien den wahren Sonnentag, mit maximaler Auswirkung zu den Äquinoktien.

Anders formuliert muss ein Beobachter auf der Erde von Winterbeginn weg täglich etwas höher über den Horizont blicken, um die Sonne im Meridian zu sehen. Weil sich bis zum Frühlingsbeginn durch die Schiefe der Erdachse dabei der Horizont ständig etwas mehr gegenüber der Erdbahn neigt, hebt der Beobachter seinen Blick nicht nur, sondern wendet ihn auch der Sonne entgegen, am stärksten zu Frühlingsbeginn. So findet jeder Meridiandurchgang früher als am Tag zuvor statt, solange bis zu Sommerbeginn der Horizont wieder scheinbar parallel zur Erdbahn liegt. Die dann dazu sehr geringe Blickhebung erfolgt rein vertikal, ohne seitliche, den Sonnentag verkürzende Komponente.

Zum Herbstbeginn hin neigt sich der mittägliche Horizont nun in die andere Richtung. Der Beobachter senkt aber jetzt jeden Tag seinen Blick zur Sonne, dreht sich ihr deshalb gleich wie im Frühlingshalbjahr entgegen, sieht neuerlich kürzer werdende wahre Tage, mit größten Differenzen zu Herbstbeginn. Danach nimmt dieser Effekt wie im Frühling kontinuierlich ab, ist am Tag des Winterbeginns neuerlich nicht vorhanden.

Wenn die erste Ursache der Zeitgleichung entfiele (fiktiver Grenzfall), betrüge die Änderung der wahren Tageslänge zwischen zwei Tagen maximal etwa ±20 Sekunden.[9] Die Summierung dieser Änderungen ergibt innerhalb eines Jahres maximal etwa ±10 Minuten halbjährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit (sinusartige magentafarbene Linie in obigem Diagramm (auf Kreisbahn), Start etwa zur Wintersonnenwende[A 4]).

Zeitgleichung, Überlagerung zweier Ursachen

Die Wirkungen der Elliptizität der Erdbahn und der parallelen Verlagerung der geneigten Erdachse resultieren zur Zeitgleichung. Die beiden sinusartigen Linien sind Annäherungen, und ihre relative Phasenlage ändert sich auch langsam im Laufe der Zeit. Letzteres verursacht im Wesentlichen die langsame Werteänderung der prinzipiell insgesamt vier Extremwerte der Zeitgleichung. Den Größtwert von absolut etwa 17,5 min kann wegen des Periodenverhältnisses von 2:1 der beiden jeweils sinusartigen Linien nur einer der vier Extremwerte haben. Positiv/negativ gleiche Wertepaare sind möglich. Ihre beiden Werte können unmittelbar nacheinander oder zeitlich versetzt auftreten (s. auch unten im Abschnitt Analemma).

Die Zeitgleichung hatte 2011 folgende Kennwerte (siehe rote Linie in obigem Diagramm):

• Nullpunkte: 13. April, 13. Juni, 1. September und 25. Dezember
• Hauptextremwerte: 11. Februar (−14 min 14 s) und 3. November (+16 min 26 s) – ein annähernd gleiches Wertepaar
• Nebenextremwerte: 14. Mai (+3 min 40 s) und 26. Juli (−6 min 32 s) – ein weiteres annähernd gleiches Wertepaar

Negative Zahlenwerte bedeuten: Die wahre Sonnenzeit läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne der mittleren Sonne nach.
Positive Zahlenwerte bedeuten: Die wahre Sonnenzeit läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne der mittleren Sonne voraus.

Modell der mittleren Sonnen

Zur Erläuterung der Zeitgleichung werden zwei fiktive mittlere Sonnen herangezogen (Abbildung rechts). Die erste mittlere Sonne ${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$ läuft gleichmäßig mit der mittleren Winkelgeschwindigkeit des Sonnenumlaufs in der Ekliptik um und durchläuft zusammen mit der wahren Sonne ${\displaystyle \mathrm {S} }$ das Perihel. Die zweite mittlere Sonne ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$ läuft mit derselben Periode im Äquator um und passiert gleichzeitig mit ${\displaystyle \mathrm {S} _{1}}$ den Frühlingspunkt ♈. ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$ ist die mittlere oder Vergleichssonne mit der Rektaszension ${\displaystyle \alpha _{m}.}$

Ausgehend von diesem Modell ergibt sich die Zeitgleichung zu

${\displaystyle ZG{}^{*}=\alpha _{m}-\alpha ,}$

wobei ${\displaystyle \alpha }$ die Rektaszension der (wahren) Sonne bezeichnet. Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass ${\displaystyle ZG^{*}}$ als Winkel statt als Zeit angegeben ist. Wenn die wahre Sonne westlich der mittleren steht, ist WOZ > MOZ, aber ${\displaystyle \alpha <\alpha _{m}}$. Daher ist die Reihenfolge von Minuend und Subtrahend gegenüber der anfänglichen Definition per Zeitunterschied umgedreht.

Im Tageslauf durchläuft die Sonne 360° in 24 Stunden oder 1° in 4 min. Damit gilt für die Zeitgleichung in Minuten

${\displaystyle ZG=4\cdot ZG^{*}.}$

${\displaystyle ZG^{*}}$ ist in Grad einzusetzen. Das Winkel- und das Zeitformat der Zeitgleichung sind übereinstimmende Versionen desselben Begriffs.

Rektaszension der wahren und der Vergleichssonne

Bahnelemente des scheinbaren Sonnenumlaufs

${\displaystyle e}$	=	${\displaystyle \textstyle 0{,}016709-{\frac {0{,}000042}{36525}}\cdot t}$
		numerische Exzentrizität
${\displaystyle \varepsilon }$	=	${\displaystyle \textstyle 23+26/60+21/3600-{\frac {46{,}82/3600}{36525}}\cdot t}$
		Schiefe der Ekliptik in Grad
${\displaystyle \varpi }$	=	${\displaystyle \textstyle 282{,}9400+{\frac {1{,}7192}{36525}}\cdot t}$
		Länge des Perihels in Grad
${\displaystyle L}$	=	${\displaystyle \textstyle 280{,}4656+{\frac {36000{,}7690}{36525}}\cdot t}$
		mittlere Länge in Grad
${\displaystyle t}$	=	Zeit ab 1. Januar 2000 12:00 UTC in Tagen

Im Folgenden werden die Rektaszensionen ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \alpha _{m}}$ für den Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ ermittelt. Die Rechnung basiert auf dem Kepler’schen Zweimassenmodell, wobei hier allerdings die Erde als Zentral- und die Sonne als Umlaufkörper aufgefasst wird. Das ist zulässig, weil der geozentrische Ortsvektor der Sonne dem heliozentrischen Ortsvektor der Erde genau entgegengesetzt ist (vgl. Sonnenbahn). Damit gilt der Kepler’sche Formelsatz auch für die scheinbare Bahn der Sonne (s. a. Sonnenstand).

Zur Bestimmung der Rektaszension der Sonne ${\displaystyle \alpha }$ sind einige Elemente ihrer scheinbaren Bahn um die Erde nötig. Die rechts tabellierten Werte sind Montenbruck entnommen. Montenbruck gibt die Bahnelemente für die Erde an. Weil hier die Sonne der Umlaufkörper ist, sind die Längen ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle \varpi }$ in der Tabelle um 180° vergrößert.

Der vorgegebene Termin, für den die Zeitgleichung ausgerechnet werden soll, legt die Zeit ${\displaystyle t}$ fest, wie in der letzten Zeile der Tabelle angegeben. Damit kann die mittlere Anomalie der scheinbaren Sonne

${\displaystyle M=L-\varpi }$

aus zwei Bahnelementen lt. Tabelle bestimmt werden. Die Länge der wahren Sonne in der Ekliptik

${\displaystyle \lambda =L+C}$

ergibt sich aus einer Reihenentwicklung der Mittelpunktsgleichung

${\displaystyle C={\frac {180}{\pi }}\left[\left(2e-{\frac {e^{3}}{4}}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin(3M)+\dots \right]}$

mit ausreichender Genauigkeit. Die Mittelpunktsgleichung ${\displaystyle C=\lambda -L}$ beschreibt die scheinbare Sonnenbewegung (Bahnellipse der Erde) mit gleichem Ergebnis wie die aus der Keplergleichung ermittelte Lösung.

Die Rektaszension der Sonne ${\displaystyle \alpha }$ hängt mit ihrer ekliptikalen Länge ${\displaystyle \lambda }$ über die Transformationsformel

${\displaystyle \alpha =\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon )}$

von ekliptikalen in äquatoriale Koordinaten zusammen (Schiefe ${\displaystyle \varepsilon }$ s. Tabelle). Der Index ${\displaystyle \lambda }$ bei arctan ruft den (Neben-)Wert der Arkustangensrelation auf, der ${\displaystyle \lambda }$ am nächsten liegt (s. Arcustangens mit Lageparameter).

Um die Bahn der zweiten mittleren Sonne ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$ mit derjenigen der ersten in der von Schneider (s. o.) beschriebenen Weise zu synchronisieren, ist der mittleren Rektaszension ${\displaystyle \alpha _{m}}$ der Zeitverlauf des Sonnenbahnelements ${\displaystyle L}$ (vgl. Tabelle) zuzuweisen. Mit

${\displaystyle \alpha _{m}=L}$

liegen alle Größen zur Berechnung von ${\displaystyle ZG^{*}}$ und ${\displaystyle ZG}$ vor.

Resultat

Ausgehend von ${\displaystyle ZG{}^{*}=\alpha _{m}-\alpha =L-\alpha }$ führen die bisherigen Angaben zur zusammenfassenden Formel

${\displaystyle ZG^{*}=L-\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon ),\qquad (*)}$

die sich mit einem Tangens-Additionstheorem in

${\displaystyle ZG^{*}=\arctan {\frac {\tan L-\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }{1+\tan L\cdot \tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }}}$

umformen lässt.

Komponenten

Die Zeitgleichungsfunktion lässt sich gemäß

${\displaystyle ZG^{*}=ZG_{\varepsilon =0}^{*}+ZG_{\varepsilon }^{*}}$

aus zwei Komponenten zusammensetzen. Der linke Summand beziffert den Beitrag der Bahnexzentrizität ${\displaystyle e}$ („erste Ursache“, s. o.) bei senkrecht auf der Ekliptik stehender Erdachse (${\displaystyle \varepsilon =0}$). Aus Gl. ${\displaystyle (*)}$ folgt dafür

${\displaystyle ZG_{\varepsilon =0}^{*}=L-\lambda .}$

Dieser Teil verläuft sinusartig mit Jahresperiode. Die Werte sind gleich denen der negativen Mittelpunktsgleichung ${\displaystyle C.}$. Die beiden Nullstellen fallen mit den Apsiden zusammen.
Der rechte Summand bezeichnet den Beitrag, der nach berücksichtigter Exzentrizität ${\displaystyle e}$ durch die Schiefe der Ekliptik ${\displaystyle \varepsilon }$ hinzukommt („zweite Ursache“, s. o.). Er ergibt sich zu

${\displaystyle ZG_{\varepsilon }^{*}=\lambda -\alpha }$

und verläuft ebenfalls sinusartig, aber mit zwei Perioden pro Jahr. Die vier Nullstellen fallen mit den Jahreszeitanfängen zusammen.

Geltungsdauer und Genauigkeit

Die Zeitgleichungsformel ${\displaystyle (*)}$ ist mit den tabellierten Konstanten mehrere Jahrhunderte vor und nach dem Jahr 2000 anwendbar. Die Werte weichen um weniger als 5 s von denen eines genauen Referenzmodells (z. B. VSOP) ab, das – anders als das Kepler-Modell – die Störkräfte der anderen Planeten und vor allem des Mondes berücksichtigt.

Zahlenbeispiel

Die Tabelle enthält die Werte in der Reihenfolge der Rechenschritte ohne Zwischenergebnisrundung. Die Himmelskugel-Graphik passt grob zum gewählten Zeitpunkt.

Rechnung für 1. Mai 2015 15:00 UTC

	${\displaystyle \textstyle t}$	${\displaystyle \textstyle e}$	${\displaystyle \textstyle \varepsilon }$	${\displaystyle \textstyle \varpi }$	${\displaystyle \textstyle L=\alpha _{m}}$	${\displaystyle \textstyle M}$	${\displaystyle \textstyle C}$	${\displaystyle \textstyle \lambda }$	${\displaystyle \textstyle \alpha }$
Wert	5599,125 d	0,016703	23,437°	283,204°	5799,228°	5516,025°	1,704°	5800,932°	5798,508°
Hauptwert					39,228°	116,025°		40,932°	38,508°
	${\displaystyle \textstyle ZG^{*}}$	${\displaystyle \textstyle ZG}$	${\displaystyle \textstyle ZG_{\varepsilon =0}^{*}}$	${\displaystyle \textstyle ZG_{\varepsilon =0}}$	${\displaystyle \textstyle ZG_{\varepsilon }^{*}}$	${\displaystyle \textstyle ZG_{\varepsilon }}$
Wert	0,720°	2,88 min	−1,704°	−6,82 min	2,424°	9,70 min

Ein präziser Vergleichswert für ${\displaystyle ZG}$ beträgt 2,89 min.