Diskreter Fall

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine nichtleere endliche Menge. Dann ist bei einer Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(A)}$ eines Ereignisses ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ durch die Laplace-Formel definiert:

${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {{\text{Anzahl der Elemente von }}A}{{\text{Anzahl der Elemente von }}\Omega }}}$

Stetiger Fall

Sei ${\displaystyle \Omega }$ ein endliches reelles Intervall, also ${\displaystyle \Omega =[a,b]}$ für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ ist bei einer Gleichverteilung definiert als

${\displaystyle P(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda (\Omega )}}\,\mathrm {d} \lambda (x)={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}={\frac {\lambda (A)}{b-a}},}$

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß bezeichnet. Insbesondere gilt für ein Teilintervall ${\displaystyle A=[c,d]\subseteq [a,b]}$

${\displaystyle P(A)={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}={\frac {d-c}{b-a}}.}$

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine stückweise konstante Funktion ${\displaystyle \rho }$ mit:

${\displaystyle \rho (x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b,\\0&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

Mit Hilfe der Indikatorfunktion des Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$ schreibt sich dies kürzer in der Form

${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{b-a}}\cdot \mathbf {1} _{[a,b]}(x).}$

In ähnlicher Weise kann man eine stetige Gleichverteilung auch auf beschränkten Teilmengen ${\displaystyle \Omega }$ des ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ erklären. Für ein Ereignis ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ erhält man die zum eindimensionalen Fall analoge Formel

${\displaystyle P(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda ^{n}(\Omega )}}\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)={\frac {\lambda ^{n}(A)}{\lambda ^{n}(\Omega )}},}$

wobei ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ das ${\displaystyle n}$-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.