Reibungsfreies Pendel

Man kann für kleine Auslenkungen die Pendellänge l, die Erdbeschleunigung g, sowie die Masse m als die drei wesentlichen beschreibenden Größen für die Schwingungsdauer t eines Pendels annehmen (n=4). Es sollen die Grunddimensionen

• L Länge (SI-Einheit: m),
• M Masse (SI-Einheit: kg) und
• T Zeit (SI-Einheit: s)

verwendet werden (m=3). Die Dimensionen der Einflussgrößen können als Potenzprodukt der Grunddimensionen ausgedrückt werden:

• l: Dimension L;
• g: Dimension L/T²;
• m: Dimension M;
• t: Dimension T.

Der Produktansatz

(1) ${\displaystyle \Pi =l^{x_{1}}\cdot g^{x_{2}}\cdot m^{x_{3}}\cdot t^{x_{4}}}$

kann nur dimensionslos werden, wenn

(2) ${\displaystyle L^{x_{1}}\cdot (L/{T^{2}})^{x_{2}}\cdot M^{x_{3}}\cdot T^{x_{4}}=1}$

und somit

(3) Länge: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}\;=\;0}$

(4) Masse: ${\displaystyle x_{3}\;=\;0}$

(5) Zeit: ${\displaystyle -2\cdot x_{2}+x_{4}=0}$

gilt. Wegen (1) und (4) ist die Masse entgegen der obigen Annahme ohne Bedeutung für die Schwingungsdauer. Dies ist ein erstes Ergebnis des Buckinghamschen Π-Theorems. Da ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ und ${\displaystyle x_{4}}$ lediglich durch die zwei Gleichungen (3) und (5) bestimmt werden, kann eine beliebige der drei Unbekannten frei (aber ungleich 0) gewählt werden (bspw. ${\displaystyle x_{4}=1}$). Dann gilt:

(6) ${\displaystyle x_{4}=1}$, ${\displaystyle x_{2}=1/2}$ und ${\displaystyle x_{1}=-1/2}$.

Zur Beschreibung des gesuchten Zusammenhangs genügt wegen n-m = 1 eine einzige und dimensionslose Größe. Diese wird mit (1) und (6) zu:

(7) ${\displaystyle \Pi ={\sqrt {g/l}}\cdot m^{0}\cdot t={\sqrt {g/l}}\cdot t}$.

Da keine weiteren dimensionslosen Größen beteiligt sind, muss als Ergebnis des Buckinghamschen Π-Theorems

(8) ${\displaystyle {\sqrt {g/l}}\cdot t={\text{const.}}}$

gelten. Die unbekannte Proportionalitätskonstante kann mit einem einzigen Versuch zu ${\displaystyle {\text{const.}}=6{,}283...}$ bestimmt werden, und man erhält

(9) ${\displaystyle t=6{,}283...\cdot {\sqrt {l/g}}}$

als Schwingungsdauer. Man beachte, dass dieser Zusammenhang ohne Verwendung der zugrunde liegenden Differentialgleichung der Bewegung des Pendels ermittelt wurde. Eine Lösung dieser Differentialgleichungen liefert das analoge Ergebnis

(10) ${\displaystyle t=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {l/g}}}$.

Die Deutung der Proportionalitätskonstante als ${\displaystyle {\text{const.}}=2\pi }$ (${\displaystyle \approx 6{,}283...}$) kann weder das Buckinghamsche Π-Theorem noch der Versuch liefern.

Zusammenfassung

Verfahren	Ergebnisse
Buckinghamsches Π-Theorem	${\displaystyle t={\text{const.}}\cdot {\sqrt {l/g}}}$
Buckinghamsches Π-Theorem und Versuch	${\displaystyle t=6{,}283...\cdot {\sqrt {l/g}}}$
Lösung der Differentialgleichung	${\displaystyle t=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {l/g}}}$

Federpendel

Geht man zur Berechnung der Schwingungsdauer t eines Federpendels von der Masse m und der Federkonstante c als wesentlichen Parameter aus, kann der folgende Ansatz verwendet werden:

${\displaystyle \Pi =m^{x_{1}}\cdot c^{x_{2}}\cdot t^{x_{3}}}$

Da in diesem Ansatz nur die Dimensionen Masse M und Zeit T vorkommen,

${\displaystyle M^{x_{1}}\cdot {\left({\frac {M}{T^{2}}}\right)}^{x_{2}}\cdot {T}^{x_{3}}=1}$

lassen sich lediglich zwei Gleichungen:

(1) Masse: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}\;=0}$

(2) Zeit: ${\displaystyle -2\cdot x_{2}+x_{3}=0}$

für die drei Unbekannten ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ableiten. Mit der Annahme ${\displaystyle x_{3}\;=1}$ folgen ${\displaystyle x_{2}=x_{3}/2=\;1/2}$ und ${\displaystyle x_{1}=\;-x_{2}=\;-1/2}$. Setzt man die Ergebnisse für ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ in den Ansatz ein, erhält man

${\displaystyle \Pi =t\cdot {\sqrt {c/m}}={\text{const.}}}$

und damit

${\displaystyle t\sim {\sqrt {m/c}}}$.

Rotierender Ring

Für die Spannungen σ, die in einem rotierenden Ring entstehen, wird eine Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit ω, dem Radius r und der Dichte ρ angenommen (n=4). Der sich daraus ergebende Ansatz

${\displaystyle \Pi =\sigma ^{x_{1}}\cdot \rho ^{x_{2}}\cdot \omega ^{x_{3}}\cdot r^{x_{4}}}$

kann nur dimensionslos werden, wenn für die hier verwendeten m=3 Grunddimensionen (L Länge, M Masse, T Zeit)

${\displaystyle {\left({\frac {M}{T^{2}\,L}}\right)}^{x_{1}}\cdot {\left({\frac {M}{L^{3}}}\right)}^{x_{2}}\cdot {\left({\frac {1}{T}}\right)}^{x_{3}}\cdot L^{x_{4}}=1}$

und somit

(1) Masse: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}\;=\;0}$

(2) Zeit: ${\displaystyle -2x_{1}-x_{3}\;=\;0}$

(3) Länge: ${\displaystyle -x_{1}-3x_{2}+x_{4}\;=\;0}$

gilt. Für die vier Unbekannten (${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$) stehen nur 3 Gleichungen zur Verfügung. Das Gleichungssystem wird mit der willkürlichen Annahme ${\displaystyle x_{1}=1}$ eindeutig. Aus (1) und (2) folgen ${\displaystyle x_{2}=-1}$ und ${\displaystyle x_{3}=-2}$. Mit (3) kann ${\displaystyle x_{4}=-2}$ bestimmt werden.

Das Π-Theorem besagt also:

${\displaystyle \sigma ^{1}\cdot \rho ^{-1}\cdot \omega ^{-2}\cdot r^{-2}={\text{const.}}\quad \Rightarrow \quad \sigma ={\text{const.}}\cdot \rho \cdot \omega ^{2}\cdot r^{2}}$.

Die Spannung σ hängt also linear von der Dichte und quadratisch von der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius ab. Die unbekannte Proportionalitätskonstante kann nicht mit dem Π-Theorem bestimmt werden.