Konjugation

Definiere die Konjugation mit einem Element ${\displaystyle g\in G}$ durch

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{g}\colon G&\to G\\h&\mapsto ghg^{-1}\quad \forall \ h\in G.\end{aligned}}}$

und definiere außerdem

${\displaystyle {\begin{aligned}C\colon G&\to Aut(G)\\g&\mapsto c_{g}\end{aligned}}}$

Ad-Funktion

Definition Ad(g)

Für jedes ${\displaystyle g\in G}$ definieren wir die Ableitung von ${\displaystyle c_{g}}$ im Punkt ${\displaystyle e}$, dem neutralen Element der Gruppe, durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ad} (g):T_{e}G&\to T_{c_{g}(e)}G\\x&\mapsto \operatorname {Ad} (g)(x):=D_{e}c_{g}(x),\quad x\in T_{e}G.\end{aligned}}}$

${\displaystyle D_{e}}$ bezeichnet den Differentialoperator an der Stelle ${\displaystyle e}$.

Das ist eine lineare Abbildung vom Tangentialraum an der Stelle des neutralen Elementes in sich selber

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G\rightarrow T_{c_{g}(e)}G=T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

da ${\displaystyle c_{g}(e)=e}$ und somit ist ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$ ein Element aus ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$.

Definition Ad

Die adjungierten Abbildungen definieren eine Darstellung der Gruppe

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ad} \colon G&\rightarrow GL({\mathfrak {g}})\\g&\mapsto \operatorname {Ad} (g),\quad \forall \ g\in G\end{aligned}}}$

welche ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist und adjungierte Darstellung genannt wird.

ad-Funktion

Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird die Ableitung von ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})\\x&\mapsto \operatorname {ad} (x):=D_{e}\operatorname {Ad} (x)\end{aligned}}}$

welche ein Lie-Algebren-Homomorphismus ist. Dies entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=\left[X,Y\right]}$

für alle ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$.

Häufig nützt man auch folgende Notation

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon x\mapsto \operatorname {ad} _{x}}$

und

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=\left[X,Y\right],\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}}.}$

Weil es nach den Lie'schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}$ gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ für jede solche Lie-Algebra definieren.