Modulationsgrad

Mit dem Modulationsgrad oder Modulationsindex ${\displaystyle m}$ wird angegeben, wie stark das modulierende Nutzsignal die Amplitude des modulierten (Träger-)Signals beeinflusst:

${\displaystyle m={\frac {{\hat {U}}_{\mathrm {NF} }}{{\hat {U}}_{\mathrm {T} }}}={\frac {U_{\mathrm {AM_{max}} }-{\hat {U}}_{\mathrm {T} }}{{\hat {U}}_{\mathrm {T} }}}={\frac {U_{\mathrm {AM_{max}} }-U_{\mathrm {AM_{\mathrm {min} }} }}{U_{\mathrm {AM_{max}} }+U_{\mathrm {AM_{min}} }}}.}$

Mit ${\displaystyle m}$ ergibt sich für ${\displaystyle u_{\mathrm {AM} }:}$

${\displaystyle u_{\mathrm {AM} }={\hat {U}}_{\mathrm {T} }\left[\cos {\Omega t}\ +\ {\frac {m}{2}}{\bigl (}\cos {(\Omega -\omega )t}+\cos {(\Omega +\omega )t}{\bigr )}\right].}$

Er muss größer als 0 und kleiner gleich 1 sein, um inkohärent demodulieren zu können. Bei Null findet keine Modulation statt, es wird lediglich der unmodulierte Träger übertragen. Bei ${\displaystyle m>1}$ findet eine Übermodulation statt, das entstandene Signal kann nur noch kohärent verzerrungsfrei demoduliert werden. Deshalb wird oft die Amplitude des modulierenden Signals vorher begrenzt, um eine zu große Aussteuerung zu vermeiden.

Modulationstrapez

Beim Modulationstrapez wird die Amplitude des modulierten Signals (y-Achse) über der Amplitude des modulierenden Signals (x-Achse) aufgetragen. Bei sinusförmigen Signalen entsteht dabei ein Trapez. Je nachdem wie groß m ist, kann es wie ein normales Trapez (0 < m < 1) aussehen, wie ein Dreieck (m = 1) oder eine Fischform (m > 1) (siehe Abbildung 3). Aus dem Trapez lässt sich auch leicht die Formel für m bestimmen:

${\displaystyle m={\frac {B-A}{B+A}}.}$

Wenn die Phase nicht konstant bleibt oder kein reines Sinussignal vorliegt, treten Verzerrungen des Modulationstrapezes auf, oder es kann sich zu einem Zylinder wölben.

Zeigerdarstellung

In der Zeigerdarstellung werden die Modulationsanteile als Zeiger aufgetragen und dann (wie beim Kräfteparallelogramm) zum resultierenden Zeiger zusammengesetzt. Auf dem starren Träger U_t stehen die beiden Zeiger der Seitenbandfrequenzen U_sf1 und U_sf2, die sich mit der Modulationsfrequenz ${\displaystyle \omega }$ in jeweils entgegengesetzte Richtung drehen. Wie man in den Abbildungen sehen kann, sind die x-Komponenten der Zeiger der Seitenfrequenzen stets entgegengesetzt und heben sich deshalb bei der Addition auf. Es bleibt nur noch die Summe der y-Komponenten, die zur Trägeramplitude addiert bzw. subtrahiert wird. So ist die resultierende momentane Amplitude des modulierten Signals immer in gleicher Richtung (in Phase) mit der Trägeramplitude. Das ist charakteristisch für die Zweiseitenbandmodulation. Bei Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger fehlt U_t. Bei Einseitenbandmodulation fehlt zusätzlich entweder U_sf1 oder U_sf2.

Bei der Zeigerdarstellung erkennt man, dass sich die Amplitude eines hochfrequenten Gesamtsignals (bestehend aus Trägerfrequenz und Seitenbändern) im Rhythmus der Modulation ändert, die Amplitude des Trägers U_t aber konstant bleibt. Das lässt sich entweder mit einem Spektrumanalysator nachweisen oder durch Einschaltung eines sehr schmalbandigen Bandpasses (Bandbreite < 50 Hz), der die Modulation nicht passieren lässt.

Bandbreite

Das Beispiel war sehr einfach, um grundlegend die Modulation verstehen zu können. Praktisch wird dabei eine niedrige Frequenz, also zum Beispiel ein einziger Ton konstanter Stärke auf den Träger moduliert. In der Realität moduliert man wesentlich mehr aufeinanderfolgende Frequenzen auf den Träger. Diese Menge an Frequenzen von 0 bis ${\displaystyle f_{i_{\rm {max}}}}$ nennt man Frequenzband ${\displaystyle f_{\rm {B}}}$ oder Basisband. Die Bereiche, die nach der Modulation neben dem Träger entstehen, heißen Seitenbänder. Es gibt ein oberes (OSB, im Englischen USB, upper side band) und ein unteres (USB, im Englischen LSB, lower side band) Seitenband; zusammen bilden sie die Bandbreite B:

${\displaystyle B=2\ f_{i_{\rm {max}}}.}$

Beim Rundfunk wird im AM-Bereich für Sprache und Musik ein standardisiertes Frequenzband von 4,5 kHz Breite (von 0 Hz bis 4,5 kHz) übertragen, was zu einer Bandbreite B = 9 kHz führt. Beim Bildsignal des Fernsehens reicht das Basisband bis etwa 5,5 MHz.

Leistungsbetrachtung

Die eigentliche Nutzleistung steckt in den Seitenbändern, wobei in beiden Seitenbändern die gleiche Information steckt, was folglich bedeutet, dass ein Seitenband völlig überflüssig ist, wie auch der Träger. Daraus ergibt sich ein Wirkungsgrad ${\displaystyle \eta }$:

${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\rm {SB}}}{P_{\rm {ges}}}}={\frac {m^{2}}{4+2m^{2}}}}$

mit

${\displaystyle P_{\rm {ges}}=P_{T}+2\ P_{\rm {SB}}}$

${\displaystyle P_{\rm {T}}={\frac {{{\hat {U}}_{\rm {T}}}^{2}}{2R}}}$

${\displaystyle P_{\rm {SB}}={\frac {{{\hat {U}}_{\rm {NF}}}^{2}}{8R}}.}$

R ist ein beliebiger Widerstand, auf den die Leistung bezogen wird. Je nachdem, wie nun m gewählt wird, beträgt ${\displaystyle \eta }$ zwischen 0 % (m = 0) und 17 % (m = 1).

Kohärente Demodulation

Beim Empfänger existiert ein lokaler Träger, der in Phase zum Träger des empfangenen Signals ist. Beide sind folglich zueinander synchron und damit kohärent. Die Erzeugung dieses lokalen Trägers ist technisch sehr aufwendig, weshalb das Verfahren nur bei extrem schwachen oder stark gestörten Signalen angewendet wird. Dafür ist die mathematische Beschreibung der Demodulation recht einfach. Zunächst wird das empfangene Signal, bestehend aus den beiden Seitenfrequenzen und dem Träger, mit dem lokalen Träger multipliziert:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\rm {DAM}}&=u_{\rm {AM}}\ \cos {\Omega t}\\&={\Bigl [}{\hat {U}}_{\rm {T}}\cos {\Omega t}\ +\ {\frac {{\hat {U}}_{\rm {NF}}}{2}}{\bigl (}\cos {(\Omega -\omega )t}+\cos {(\Omega +\omega )t}{\bigr )}{\Bigr ]}\ \cos {\Omega t}\\&={\hat {U}}_{\rm {T}}\cos ^{2}{\Omega t}\ +\ {\frac {{\hat {U}}_{\rm {NF}}}{2}}\left(\cos {(\Omega -\omega )t}\ \cos {\Omega t}+\cos {(\Omega +\omega )t}\ \cos {\Omega t}\right).\end{aligned}}}$

Mit Hilfe der Additionstheoreme

${\displaystyle \cos \alpha \ \cos \beta ={\frac {1}{2}}{\bigl (}\cos {(\alpha -\beta )}+\cos {(\alpha +\beta )}{\bigr )}}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}\left(1+\cos {2\alpha }\right)}$

erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\rm {DAM}}={\frac {{\hat {U}}_{\rm {T}}}{2}}\left(1+\cos {2\Omega t}\right)\ +\ {\frac {{\hat {U}}_{\rm {NF}}}{4}}{\bigl (}\cos {(-\omega )t}+\cos {(2\Omega -\omega )t}+\cos {\omega t}+\cos {(2\Omega +\omega )t}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Anschließend werden die unerwünschten hohen Frequenzanteile ${\displaystyle \ 2\Omega \ }$ mit einem Tiefpass und der Gleichanteil mit Hochpass herausgefiltert, wodurch nur noch das gesuchte Nutzsignal mit halber Amplitude übrig bleibt:

${\displaystyle u_{\rm {TP}}={\frac {{\hat {U}}_{\rm {NF}}}{4}}{\bigl (}\cos {(-\omega )t}+\cos {\omega t}{\bigr )}={\frac {{\hat {U}}_{\rm {NF}}}{2}}\cos {\omega t}.}$

Inkohärente Demodulation

Diese einfachste Form der Demodulation kommt ohne die aufwendige Erzeugung eines lokalen Trägers aus und ermöglichte deshalb vor hundert Jahren die Verbreitung von Rundfunksendern. Das Verfahren ist allerdings nur bei ausreichend starken Signalen anwendbar und erfordert im Regelfall einen vorhergehenden Verstärker. Hier wird das gesuchte Frequenzband mit einem Bandpass herausgefiltert, anschließend mit einer Diode gleichgerichtet und zum Schluss mit einem Tiefpass geglättet. Der enthaltene Gleichanteil wird gegebenenfalls mit einem Hochpass entfernt.

${\displaystyle u_{\rm {DAM}}=\left|u_{\rm {AM}}\right|.}$

Auf Grund der Einfachheit dieses Verfahrens kann das empfangene Signal leicht durch Verzerrungen gestört werden. Praktische Umsetzungen dieses Verfahrens stellen der Hüllkurvendetektor und der Detektorempfänger dar.

Siehe auch:

• Gittergleichrichtung
• Anodengleichrichtung
• Kathodengleichrichtung

Mehrstufige multiplikative Demodulation

Zunächst wird mit einem auf die Trägerfrequenz f_T abstimmbaren leicht gedämpften Schwingkreis eine schmalbandige Verstärkung (Bandpass) des gewünschten Frequenzbereichs (f_T − f_i max bis f_T + f_i max) durchgeführt. Danach wird, je nach zur Verfügung stehender Technologie, die Modulation zu niedrigeren Frequenzen in n Stufen durchgeführt. Also je Stufe ein Modulator gefolgt von einem Tiefpass.

Der Modulator selbst ist wie beim Sender ein Multiplizierer. In diesem Beispiel gibt es zur Vereinfachung nur einen (n = 1) Modulator. Die für den Modulator erforderliche Trägerfrequenz im Empfänger f_Te sollte möglichst gut der Trägerfrequenz des Senders f_T entsprechen, da ansonsten eine Schwebung entsteht. Die Nachregelung von f_Te erfolgt heutzutage über eine PLL (Phase locked loop).

Ergebnis des Senders: f_m1 = 220 kHz und f_m2 = −240 kHz; f_T = 230 kHz
(Phase über Vorzeichen dargestellt)

Im Empfänger unter Voraussetzung f_T = f_Te:

${\displaystyle f_{0}=f_{m1}\pm f_{\mathrm {Te} }}$   und   ${\displaystyle f_{0}=f_{m2}\pm f_{\mathrm {Te} }}$   (Phase und Amplitude weggelassen)

woraus sich mit obigen Angaben die Frequenzen ergeben: −10 kHz; 450 kHz; −10 kHz; −470 kHz.

Alle Frequenzen oberhalb von 10 kHz lassen sich nun mit einem Tiefpass ausfiltern.

Im Realfall ist es kaum möglich, die Trägerfrequenz des Senders hinreichend genau zu treffen. Um eine Vorstellung von der erforderlichen Genauigkeit zu bekommen, hier ein Beispiel: Eine Schwebung von 50 Hz entspricht einer Frequenzabweichung von 0,02 % bezogen auf 230 kHz.

Um möglichst vielen Problemen der Analogtechnik (muss justiert werden, elektronische Bauteile altern) aus dem Weg zu gehen und Platzbedarf zu minimieren, wird zunehmend auf digitale Signalverarbeitung gesetzt. Im Prinzip wird mit einem schnellen Analog-Digital-Umsetzer direkt das Empfangssignal in Sinus- und Cosinus-Anteil digitalisiert. Der Rest wird rechnerisch vom Signalprozessor geleistet.