Ausströmgeschwindigkeit

In der Rückstoßkammer ist der Druck ${\displaystyle p_{i}}$ höher als der Umgebungsdruck ${\displaystyle p_{a}}$. Das in der Kammer befindliche Medium tritt auf Grund dieser Druckdifferenz mit einer bestimmten Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{s}}$ aus der Düse aus. Von Bedeutung ist weiterhin die Dichte ${\displaystyle \rho }$ des ausströmenden Mediums (innerhalb der Kammer, also unter dem Druck ${\displaystyle p_{i}}$ stehend).

Aus der Energieerhaltung folgt:

${\displaystyle W=(p_{i}-p_{a})\cdot dV={\frac {1}{2}}\cdot dm\cdot v_{s}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot dV\cdot \rho \cdot v_{s}^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad {\frac {2(p_{i}-p_{a})}{\rho }}=v_{s}^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad v_{s}={\sqrt {\frac {2\cdot (p_{i}-p_{a})}{\rho }}}}$

Diese Gleichung gilt nur bei hinreichend kleinen Düsen, bei denen der Kammerinhalt relativ zur Kammer nur gering beschleunigt wird. Zudem wurden mögliche Reibungsverluste vernachlässigt.

Bei Gasen ist zu beachten, dass deren Dichte ${\displaystyle \rho }$ abhängig vom Druck und der Temperatur ist. Diese lässt sich (näherungsweise) mittels der Thermischen Zustandsgleichung idealer Gase

${\displaystyle p\cdot V=m\cdot R_{s}\cdot T}$

durch Umstellung nach

${\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}={\frac {p}{R_{s}\cdot T}}}$

berechnen.

Da bei Gasen die Dichte proportional zum Druck ist, kann eine Erhöhung der Austrittsgeschwindigkeit nur durch eine Temperaturerhöhung erzielt werden.

Durchsatz

Entsprechend dem Querschnitt ${\displaystyle A}$ der Düse, der Dichte ${\displaystyle \rho }$ des austretenden Mediums und dessen Austrittsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{s}}$ lässt sich der oft auch als Massenstrom bezeichnete Durchsatz ${\displaystyle \mu }$ ermitteln.

${\displaystyle \mu =A\cdot \rho \cdot v_{s}}$

Schub

Die erzeugte Schubkraft ${\displaystyle F_{s}}$ kann durch die Multiplikation des Durchsatzes ${\displaystyle \mu }$ mit der Austrittsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{s}}$ des Mediums berechnet werden.

${\displaystyle F_{s}=\mu \cdot v_{s}}$

Oder durch Ersetzen von ${\displaystyle \mu =A\cdot \rho \cdot v_{s}}$

${\displaystyle F_{s}=A\cdot \rho \cdot v_{s}^{2}}$

und

${\displaystyle F_{s}=A\cdot \rho \cdot {\frac {2\cdot \Delta p}{\rho }}}$

erhält man die massenunabhängige Beziehung

${\displaystyle F_{s}=2\cdot \Delta p\cdot A}$

Benötigte Triebwerksleistung

Hierbei ist nicht die Leistung ${\displaystyle P_{\mathrm {Nutz} }}$ gemeint, mit der ein solches Triebwerk eine Masse bewegen (beschleunigen) würde, sondern die Leistung, die benötigt wird, um die entsprechende Schubkraft zu erzeugen. Man ermittelt diese Leistung ${\displaystyle P_{\mathrm {Triebwerk} }}$ über den gegebenen Durchsatz ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle \mu ={\frac {\Delta m}{\Delta t}}}$

Um die Masse der ausströmenden Gase ${\displaystyle \Delta m}$ auf die Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{s}}$ zu beschleunigen, muss die Arbeit

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}\cdot \Delta m\cdot v_{s}^{2}}$

verrichtet werden. Somit ergibt sich die Triebwerksleistung ${\displaystyle P_{\mathrm {Triebwerk} }}$ zu

${\displaystyle P_{\mathrm {Triebwerk} }={\frac {W}{\Delta t}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\Delta m}{\Delta t}}\cdot v_{s}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot \mu \cdot v_{s}^{2}}$

bzw. wegen ${\displaystyle F_{s}=\mu \cdot v_{s}}$:

${\displaystyle P_{\mathrm {Triebwerk} }={\frac {1}{2}}\cdot v_{s}\cdot F_{s}}$

Um bei einem hypothetischen Photonenantrieb die gleiche Schubkraft zu erzeugen, müsste die Triebwerksleistung erheblich höher liegen als bei einem herkömmlichen chemischen Raketenantrieb.

Nutzleistung

Die tatsächliche von einem solchen Rückstoßantrieb umsetzbare Leistung ${\displaystyle P_{\mathrm {Nutz} }(t)}$ ergibt sich durch Umstellung der Formel für die Beschleunigungsarbeit:

${\displaystyle W_{\mathrm {Beschl.} }=m\cdot {\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle P_{\mathrm {Nutz} }(t)=m(t)\cdot {\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2\cdot t}}=m(t)\cdot a\cdot {\frac {v_{2}+v_{1}}{2}}=F_{s}\cdot {\frac {v_{2}+v_{1}}{2}}}$

Dabei stellen ${\displaystyle v_{1}}$ die Anfangsgeschwindigkeit und ${\displaystyle v_{2}}$ die Endgeschwindigkeit des Beschleunigungsvorganges dar.