Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an der Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Schließt die Spitze den Winkel ${\displaystyle 36^{\circ }}$ oder ${\displaystyle 108^{\circ }}$ ein, wird es Goldenes Dreieck erster bzw. zweiter Art genannt.

Berechnung und Konstruktion

Mathematische Formeln zum gleichschenkligen Dreieck
Flächeninhalt	${\displaystyle A={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}={\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}$
	${\displaystyle A={\frac {a^{2}\cdot \sin(\gamma )}{2}}}$
Umfang	${\displaystyle U=2\cdot a+c}$
Seitenlängen	${\displaystyle a=b}$
	${\displaystyle c=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\sqrt {2\cdot a^{2}\cdot (1-\cos(\gamma ))}}}$
Winkel	${\displaystyle \alpha =\beta =\arcsin \left({\frac {h_{c}}{a}}\right)}$
	${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\cdot \alpha =2\cdot \arcsin \left({\frac {c}{2\cdot a}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {c^{2}}{2\cdot a^{2}}}\right)}$
Höhe	${\displaystyle h_{a}={\frac {c}{2\cdot a}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}$
	${\displaystyle h_{b}={\frac {c}{2\cdot b}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}$
	${\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}$
Inkreisradius	${\displaystyle r_{i}={\frac {c\cdot h_{c}}{2\cdot a+c}}={\frac {c\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}{4\cdot a+2\cdot c}}}$
Umkreisradius	${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2\cdot \sin(\alpha )}}={\frac {b}{2\cdot \sin(\beta )}}={\frac {c}{2\cdot \sin(\gamma )}}={\frac {a^{2}}{\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}}$

Ausgezeichnete Punkte

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Sehnenvielecke

Jedes Sehnenvieleck, das den Mittelpunkt seines Umkreises enthält, kann von den Radien dieses Kreises, die durch seine Eckpunkte verlaufen, in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind. Diese Zerlegung kann verwendet werden, um eine Formel für den Flächeninhalt des Polygons als Funktion seiner Seitenlängen abzuleiten, auch für Sehnenvielecke, die ihren Umkreismittelpunkt nicht enthalten. Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke und Brahmaguptas Formel für Sehnenvierecke.

Polyeder mit gleichschenkligen Dreiecken

Einige besondere Polyeder haben gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, zum Beispiel regelmäßige Pyramiden und regelmäßige Doppelpyramiden. Die Oberfläche einiger catalanischer Körper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

• Quadratische Pyramide
• Regelmäßige fünfseitige Pyramide
• Dreiseitige regelmäßige Doppelpyramide
• Quadratische Doppelpyramide
• Triakistetraeder
• Triakisoktaeder
• Tetrakishexaeder
• Pentakisdodekaeder
• Triakisikosaeder

Siehe auch

• Dreieck
• Gleichseitiges Dreieck
• Rechtwinkliges Dreieck
• Spitzwinkliges Dreieck
• Stumpfwinkliges Dreieck
• Schenkeltransversalensatz (Lehrsatz über gleichschenklige Dreiecke)

Literatur

• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser, Basel [u. a.] 1963 (Deutsche Übersetzung von: Introduction to Geometry. Wiley, 1961). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Isosceles Triangle. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. 1 2 Jürgen Köller: Gleichschenkliges Dreieck. Höhe und Radius des Inkreises. Abgerufen am 8. Juni 2019.