Orlicz-Funktion

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein σ-endliches Maß auf einer Menge ${\displaystyle X}$. Eine konvexe Funktion ${\displaystyle \phi \colon [0,\infty ]\to [0,\infty ]}$ nennt man Orlicz-Funktion (auch Young-Funktion), wenn Folgendes gilt:

${\displaystyle {\frac {\phi (x)}{x}}\to \infty ,\quad {\text{wenn }}x\to \infty ,}$ und

${\displaystyle {\frac {\phi (x)}{x}}\to 0,\quad {\text{wenn }}x\to 0}$.

Orlicz-Norm

Sei nun ${\displaystyle \psi }$ die rechtsinverse Funktion zu ${\displaystyle \phi '}$, das heißt, es gilt ${\displaystyle \psi (s)=\sup\{t:\phi '(t)\leq s\}}$. Wir definieren die Komplementärfunktion zu ${\displaystyle \phi }$ als das Integral über die rechtsinverse Funktion ihrer Ableitung:

${\displaystyle Q_{\psi }(x)=\int _{0}^{|x|}\psi (s)\,\mathrm {d} s}$.

Die Orlicz-Norm ist dann gegeben durch:

${\displaystyle \|f\|_{Q}=\sup \left\{\left|\int _{X}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:\int _{X}Q_{\psi }(g(t))\,\mathrm {d} \mu (t)\leq 1\right\}}$.

Birnbaum-Orlicz-Raum

Der Birnbaum-Orlicz-Raum ist definiert als

${\displaystyle L_{Q}(X,\mu ):=\left\{f\colon X\to \mathbb {K} :f\,{\rm {ist\ messbar}}\,,\|f\|_{Q}<\infty \right\}}$

(oder kurz als ${\displaystyle L_{Q}}$), also als der Raum aller messbaren Funktionen, die eine endliche Orlicz-Norm besitzen.

Luxemburg-Norm

Eine äquivalente Norm namens Luxemburg-Norm erhält man durch

${\displaystyle \|f\|_{\phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty ):\int _{X}\phi (|f|/k)\,\mathrm {d} \mu \leq 1\right\}}$.

Für eine Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ ergibt sich daraus folgende Norm:

${\displaystyle \|Y\|_{\phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty ):\mathbb {E} [\phi (|Y|/k)]\leq 1\right\}}$.